资源描述:
《高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积自主训练 新人教a版必修4》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4平面向量的数量积自主广场我夯基我达标1.已知平面上直线l的方向向量e=(-,),点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O1、A1,则=λe,其中λ等于()A.B.-C.2D.-2思路解析:利用数形结合的思想,作图可得.令向量e过原点.故与e方向相反.排除A、C,且知A坐标为(),∴λ=-2.答案:D2.若向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且
2、b
3、=,则b等于()A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)思路解析:由题意b与a共线,再结合
4、b
5、=,列出关于b的坐标的方程,即可解出.方法一:设b=λ
6、(-1,2),且λ>0,有(-λ)2+(2λ)2=()2b=(-3,6).方法二:由题意可知,向量a,b共线且方向相反.故可由方向相反排除B、C;由共线可知b=-3a.答案:A3.已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(,-1),则
7、2a-b
8、的最大值和最小值分别是()A.4,0B.4,2C.16,0D.4,0思路解析:列出关于模的表达式,考查得到的函数即可得到答案.a·b=2sin(-θ),
9、2a-b
10、2=4a2-4a·b+b2=8-8sin(-θ),∴
11、2a-b
12、的最大值为4,最小值为0.答案:D4.在△ABC中,∠A=90°,AB=
13、(k,1),AC=(2,3),则k的值是______________.思路解析:由AB与AC垂直,列出关于k的方程,解方程即可得到答案.∵∠A=90°,∴⊥.∴·=2k+3=0.∴k=-.答案:-5.向量
14、a
15、=9,
16、b
17、=12,则
18、a+b
19、的最大值和最小值分别为_________________.思路解析:由
20、
21、a
22、-
23、b
24、
25、≤
26、a+b
27、≤
28、a
29、+
30、b
31、可得结果.答案:21,36.给出下列说法:(1)在△ABC中,若·<0,则△ABC是锐角三角形;(2)在△ABC中,若·>0,则△ABC是钝角三角形;(3)△ABC是直角三角形·=0;(4)△
32、ABC是斜三角形的必要不充分条件是·≠0.其中,正确的序号是_________________.思路解析:利用数量积的符号,可以判断向量的夹角是锐角、直角,还是钝角.(1)∵·<0,∴·=-·>0,∴∠B是锐角,但并不能断定其余的两个角也是锐角.所以推不出△ABC是锐角三角形.故(1)是错误的.(2)∵·>0,∴·=-·<0.∠B是钝角,因而△ABC是钝角三角形.故(2)是正确的.(3)△ABC是直角三角形,则直角可以是∠A,也可以是∠B、∠C.而·=0仅能保证∠B是直角.故(3)是错误的.(4)一方面,当△ABC是斜三角形时,其三个内角均不是
33、直角,故·≠0;另一方面,由·≠0只能得出∠B不是直角,但∠A或∠C中可能有一个直角.故(4)是正确的.答案:②④我综合我发展7.在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC中的一个内角为直角,求k的值.思路分析:注意到△ABC中的哪一个内角为直角不明确,因此要分类讨论,这是第4题的一个延伸.解:(1)当∠A=90°时,·=0.所以2×1+3k=0,即k=-.(2)当∠B=90°时,BC=-=(1-2,k-3),·=0.所以2×(-1)+3(k-3)=0,k=(3)当∠C=90°时,·=0.所以-1+k(k-3)=0,k2-3k-1=0
34、,k=.故当k=-或k=或k=时,△ABC为直角三角形.8.设a与b是两个互相垂直的单位向量,问当k为整数时,向量m=ka+b与向量n=a+kb的夹角能否为60°,证明你的结论.思路分析:可以设夹角为60°,然后利用夹角公式求k,若有整数解,则求出,若没有,则不能.解:设向量m·n夹角为60°,∵
35、m
36、2=
37、ka+b
38、2=k2+1,
39、n
40、2=
41、a+kb
42、2=k2+1,m·n=(ka+b)·(a+kb)=2k,∴2k=·cos60°,即4k=k2+1.解得k=2±,这与k为整数矛盾.∴m、n的夹角不能为60°.9.求函数y=的最大值.思路分析:这
43、类题一般方法无法求解,可联想到两点间距离公式.解:如上图,设A(-2,3),B(1,2),P(x,0),则
44、
45、=,
46、
47、=,∴y的最大值即为
48、
49、-
50、
51、的最大值.由图可知当A、B、P三点共线时
52、
53、-
54、
55、有最大值
56、
57、,
58、
59、=,∴ymax=.10.求证:x1x2+y1y2≤思路分析:若令a=(x1,y1),b=(x2,y2),可联想到x1x2+y1y2=a·b,=
60、a
61、,=
62、b
63、.由此入手问题可得证.证明:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a、b的夹角为θ,则=
64、a
65、,=
66、b
67、,x1x2+y1y2=a·b.又∵a·b=
68、a
69、
70、b
71、cosθ≤
72、a
73、
74、
75、b
76、=,所以x1x2+y1y2≤·.