高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.1 推出与充分条件、必要条件学业分层测评 新人教b版选修2-1

高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.1 推出与充分条件、必要条件学业分层测评 新人教b版选修2-1

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1、1.3.1推出与充分条件、必要条件(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 ∵A={1,a},B={1,2,3},A⊆B,∴a∈B且a≠1,∴a=2或3,∴“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件.【答案】 A2.已知命题甲:“a,b,c成等差数列”,命题乙:“+=2”,则命题甲是命题乙的(  )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 若+=2,则a

2、+c=2b,由此可得a,b,c成等差数列;当a,b,c成等差数列时,可得a+c=2b,但不一定得出+=2,如a=-1,b=0,c=1.所以命题甲是命题乙的必要不充分条件.【答案】 A3.设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的(  )【导学号:15460014】A.充分不必要条件  B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 若φ=0,则f(x)=cos(x+φ)=cosx为偶函数,充分性成立;反之,若f(x)=cos(x+φ)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z),必要性不成立,故选A.【答案】 A4.“a=

3、-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的(  )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】 当a=-1时,函数f(x)=ax2+2x-1=-x2+2x-1只有一个零点1;但若函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点,则a=-1或a=0.所以“a=-1”是“函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的充分不必要条件,故选B.【答案】 B5.已知函数f(x)=x+bcosx,其中b为常数,那么“b=0”是“f(x)为奇函数”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

4、件【解析】 当b=0时,f(x)=x为奇函数;当f(x)为奇函数时,f(-x)=-f(x),∴-x+bcosx=-x-bcosx,从而2bcosx=0,b=0.【答案】 C二、填空题6.“b2=ac”是“a,b,c成等比数列”的________条件.【解析】 “b2=ac”“a,b,c成等比数列”,如b2=ac=0;而“a,b,c成等比数列”⇒“b2=ac”.【答案】 必要不充分7.“a=-1”是“l1:x+ay+6=0与l2:(3-a)x+2(a-1)y+6=0平行”的________条件.【解析】 若直线l1:x+ay+6=0与l2:(3-a)x+2(

5、a-1)y+6=0平行,则需满足1×2(a-1)-a×(3-a)=0,化简整理得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2,经验证得当a=-1时,两直线平行,当a=2时,两直线重合,故“a=-1”是“l1:x+ay+6=0与l2:(3-a)x+2(a-1)y+6=0平行”的充要条件.【答案】 充要8.在下列各项中选择一项填空:①充分不必要条件;②必要不充分条件;③充要条件;④既不充分也不必要条件.(1)集合A={-1,p,2},B={2,3},则“p=3”是“A∩B=B”的________;(2)“a=1”是“函数f(x)=

6、2x-a

7、在区间上是增函数”的__

8、______.【解析】 (1)当p=3时,A={-1,2,3},此时A∩B=B;若A∩B=B,则必有p=3.因此“p=3”是“A∩B=B”的充要条件.(2)当a=1时,f(x)=

9、2x-a

10、=

11、2x-1

12、在上是增函数;但由f(x)=

13、2x-a

14、在区间上是增函数不能得到a=1,如当a=0时,函数f(x)=

15、2x-a

16、=

17、2x

18、在区间上是增函数.因此“a=1”是“函数f(x)=

19、2x-a

20、在区间上是增函数”的充分不必要条件.【答案】 (1)③ (2)①三、解答题9.下列各题中,p是q的什么条件,q是p的什么条件,并说明理由.(1)p:

21、x

22、=

23、y

24、,q:x=y

25、;(2)在△ABC,p:sinA>,q:A>.【解】 (1)因为

26、x

27、=

28、y

29、⇒x=y或x=-y,但x=y⇒

30、x

31、=

32、y

33、,所以p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件.(2)因为A∈(0,π)时,sinA∈(0,1],且A∈时,y=sinA单调递增,A∈时,y=sinA单调递减,所以sinA>⇒A>,但A>sinA>.所以p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.10.设a,b,c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边,证明:“a2=b(b+c)”是“A=2B”的充要条件.【证明】 充分性:由a2=b(b+c)=b2+c2-2bccosA

34、可得1+2cosA==.即sinB+2sinBcosA=sin(A

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