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《2016届高三数学人教a版一轮复习基础巩固强化:第8章 第5节双曲线》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八章 第五节一、选择题1.(文)(2014·广东文)若实数k满足02、检)已知F是双曲线-=1(a>0)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则∠POF的大小不可能是( )A.15° B.25°C.60° D.165°[答案] C[解析] 双曲线的渐近线方程为±=0,两渐近线的斜率k=±=±,渐近线的倾斜角分别为30°,150°,所以∠POF的大小不可能是60°.(理)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1[答案] A[解析] 由渐近线方程为y=±x知,=,∴a=b,①又顶点到渐近线距离为1,∴=1,②由①②得,a=2,3、b=,∴选A.3.(文)(2013·保定调研)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=48x的准线上.则双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1[答案] B[解析] 由题意可知解得所以选B.(理)(2014·甘肃兰州、张掖诊断)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以4、F1F25、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1[答案] C[解析] 因为以6、F1F27、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,48、),所以c=5,=,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以以此双曲线的方程为-=1.4.(2014·山东烟台一模)双曲线C1的中心在原点,焦点在x轴上,若C1的一个焦点与抛物线C2:y2=12x的焦点重合,且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4,则双曲线C1的实轴长为( )A.6 B.2C. D.2[答案] D[解析] 设双曲线C1的方程为-=1(a>0,b>0).由已知,抛物线C2的焦点为(3,0),准线方程为x=-3,即双曲线中c=3,a2+b2=9,又抛物线C2的准线过双曲线的焦点,且交双曲线C1所得的弦长为4,所以=2,与a2+b2=9联立,得a2+29、a-9=0,解得a=,故双曲线C1的实轴长为2,故选D.5.(2013·广东六校联考)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-5,0)和C(5,0),若顶点B在双曲线-=1上,则为( )A. B.C. D.[答案] C[解析] 设△ABC中角A、B、C所对的边分别是a、b、c,由正弦定理得=,由双曲线的标准方程和定义可知,A、C是双曲线的焦点,且10、AC11、=10,12、13、BC14、-15、AB16、17、=8.所以=,故选C.6.(文)(2014·江西赣州四校联考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,左、右顶点分别为A1,A2,P为双曲线上任意一点,则分别以线段PF1,18、A1A2为直径的两个圆的位置关系为( )A.相交 B.相切C.相离 D.以上情况都有可能[答案] B[解析] 设以线段PF1,A1A2为直径的两圆的半径分别为r1,r2,若P在双曲线左支上,如图所示,则19、O2O20、=21、PF222、=(23、PF124、+2a)=25、PF126、+a=r1+r2,即圆心距为两圆半径之和,两圆外切.若P在双曲线右支上,同理求得27、OO128、=r1-r2,故此时两圆内切.综上,两圆相切,故选B.(理)如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,当动点M在底面ABCD内运动时,总有:D1A=D1M,则动点M在面ABCD内的轨迹是( )上的一段弧.( )A.圆 B.椭圆C29、.双曲线 D.抛物线[答案] A[解析] 因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时,动点的轨迹是以D1D为轴线,以D1A为母线的圆锥,与平面ABCD的交线即圆的一部分.故选A.二、填空题7.(文)已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx-y=0,若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值,则使得双曲线的离心率大于3的概率是________.[答案] [解析] 由题意知双曲线方程可设为m2x2-y2=1,从而e=>3,∵m>0,∴m>2,故所求概率是,故填.(理)(2014·浙江)设直
2、检)已知F是双曲线-=1(a>0)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则∠POF的大小不可能是( )A.15° B.25°C.60° D.165°[答案] C[解析] 双曲线的渐近线方程为±=0,两渐近线的斜率k=±=±,渐近线的倾斜角分别为30°,150°,所以∠POF的大小不可能是60°.(理)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1[答案] A[解析] 由渐近线方程为y=±x知,=,∴a=b,①又顶点到渐近线距离为1,∴=1,②由①②得,a=2,
3、b=,∴选A.3.(文)(2013·保定调研)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=48x的准线上.则双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1[答案] B[解析] 由题意可知解得所以选B.(理)(2014·甘肃兰州、张掖诊断)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以
4、F1F2
5、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1[答案] C[解析] 因为以
6、F1F2
7、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4
8、),所以c=5,=,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以以此双曲线的方程为-=1.4.(2014·山东烟台一模)双曲线C1的中心在原点,焦点在x轴上,若C1的一个焦点与抛物线C2:y2=12x的焦点重合,且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4,则双曲线C1的实轴长为( )A.6 B.2C. D.2[答案] D[解析] 设双曲线C1的方程为-=1(a>0,b>0).由已知,抛物线C2的焦点为(3,0),准线方程为x=-3,即双曲线中c=3,a2+b2=9,又抛物线C2的准线过双曲线的焦点,且交双曲线C1所得的弦长为4,所以=2,与a2+b2=9联立,得a2+2
9、a-9=0,解得a=,故双曲线C1的实轴长为2,故选D.5.(2013·广东六校联考)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-5,0)和C(5,0),若顶点B在双曲线-=1上,则为( )A. B.C. D.[答案] C[解析] 设△ABC中角A、B、C所对的边分别是a、b、c,由正弦定理得=,由双曲线的标准方程和定义可知,A、C是双曲线的焦点,且
10、AC
11、=10,
12、
13、BC
14、-
15、AB
16、
17、=8.所以=,故选C.6.(文)(2014·江西赣州四校联考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,左、右顶点分别为A1,A2,P为双曲线上任意一点,则分别以线段PF1,
18、A1A2为直径的两个圆的位置关系为( )A.相交 B.相切C.相离 D.以上情况都有可能[答案] B[解析] 设以线段PF1,A1A2为直径的两圆的半径分别为r1,r2,若P在双曲线左支上,如图所示,则
19、O2O
20、=
21、PF2
22、=(
23、PF1
24、+2a)=
25、PF1
26、+a=r1+r2,即圆心距为两圆半径之和,两圆外切.若P在双曲线右支上,同理求得
27、OO1
28、=r1-r2,故此时两圆内切.综上,两圆相切,故选B.(理)如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,当动点M在底面ABCD内运动时,总有:D1A=D1M,则动点M在面ABCD内的轨迹是( )上的一段弧.( )A.圆 B.椭圆C
29、.双曲线 D.抛物线[答案] A[解析] 因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时,动点的轨迹是以D1D为轴线,以D1A为母线的圆锥,与平面ABCD的交线即圆的一部分.故选A.二、填空题7.(文)已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx-y=0,若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值,则使得双曲线的离心率大于3的概率是________.[答案] [解析] 由题意知双曲线方程可设为m2x2-y2=1,从而e=>3,∵m>0,∴m>2,故所求概率是,故填.(理)(2014·浙江)设直
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