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时间:2018-12-24
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1、§5 线性变换的矩阵表示式上节例10中,关系式 简单明了地表示出中的一个线性变换.我们自然希望中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示.为此,考虑到(为单位坐标向量),即 ,可见如果线性变换有关系式,那么矩阵应以为列向量.反之,如果一贯个线性变换使,那么必有关系式 总之,中任何线性变换,都能用关系式表示,其中.把上面的讨论推广到一般的线性空间,我们有定义7 设是线性空间中的线性变换,在中取定一个基,如果这个基在变换下的象(用这个基线性表示)为 记 ,上式可表示为
2、 , (5)其中 , 那么,就称为线性变换在基下的矩阵.显然,矩阵由基的象唯一确定.如果给出一个矩阵作为线性变换在基下的矩阵,也就是给出了这个基在变换下的象,那么根据变换保持线性关系的特性,我们来推导变换必须满足的关系式:中的任意元素记为,有 ,即 (6)这个关系式唯一地确定一个变换,可以验证所确定的变换是以为矩阵的线性变换.总之。以为矩阵的线性变换由关系式(6)唯一确定.定义7和上面一段讨论表明,在中取定一个基以后,由线性变换
3、可唯一确定一个矩阵,由一个矩阵也可唯一地确定一个线性变换,这样,在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关系.由关系式(6),可见与在基下的坐标分别为 即按坐标表示,有 .例11 在中,取基 求微分运算的矩阵.解 所以在这组基下的矩阵为 .例12 在中,表示将向量投影到平面的线性变换,即 ,(1) 取基为,求的矩阵;(2) 取基为,求的矩阵.解 (1) 即
4、 (2) 即 由上例可见,同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵,一般地,我们有定理3 设线性空间中取定两个基:,由基到基的过度矩阵为,中的线性变换在这两个基下的矩阵依次为和,那么. 证 按定理的假设,有 可逆;及 , ,于是 ,因为线性无关,所以 证毕这定理表明与相似,且两个基之间的过度矩阵就是相似变换矩阵.例13 设中的线性变换在基下的矩阵为 ,求在基下的矩阵
5、.解 : 即 ,求得 于是在基下的矩阵为 定义8 线性变换的象空间的维数,称为线性变换的秩.显然,若是的矩阵,则的秩就是.,若的秩,则的核的维数为. “线性变换与矩阵的一一对应”的最佳匹配结果定义7和上面一段讨论表明,在中取定一个基以后,由线性变换可唯一确定一个矩阵,由一个矩阵也可唯一地确定一个线性变换,这样,在线性变换与矩阵之间就有一一对应...转至文字»
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