定积分的概念教学案例设计

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1、《定积分的概念》教学案例设计1教学目标及重点、难点1.1教学目标知识目标：1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念的实际背景意义；2.借助于几何直观理解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会应用定积分的定义求函数的定积分．3.理解掌握定积分的几何意义和性质；能力目标：体会“以直代曲”，“无限逼近”，“近似代替”等数学思想.情感态度价值观：体会定积分在实际问题中的应用，体会数学的强大威力.1.2教学重点微元法思想和定积分的基本性质1.3教学难点无限细分和无穷累积的思维方法2教学过程简录2

2、.1实例铺路，引出课题教师：“回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤是什么？”学生：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近）教师：“对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．”师生共同归纳得出，以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限.我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究．2.2演示验证，直观感知教师：“让我们再次回顾解决曲边梯形的面积的方法，体会当中

3、蕴含的数学思想.”（教师动画演示对曲边梯形的分割过程）这是曲边梯形的过剩近似值的拟合效果，请同学们再观察其不足近似值的动画演示.教师：体现了哪些数学思想，哪位同学说说？学生1：以上对曲边梯形的无限分割体现了“无限逼近”的思想。学生2：还有“近似代替”的思想，用不足近似值和过剩近似值代替曲边梯形的面积，以及“以直代曲”的思想.教师：这种求面积的方法具有普遍意义，为此，引入定积分的概念.2.2.1定积分的概念设函数在区间上有定义，任意用分点将分成个小区间，用表示第个小区间的长度，在上任取一点，作乘积，.再作和

4、.若当时，上式的极限存在，则称函数在区间上可积，并称此极限值为在上的定积分，记作.即.(1)其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分下限和上限.许多实际问题都可用定积分表示.例如，若变速直线运动的速度为，则在时间区间上，物体经过的路程为.(2)同理，图5－1所示的曲边梯形面积可表为图5－1a=x0x1x2xi-1xixn-1xn=bxiOxnx1x2y=f(x)xy(3)变力做功(4)I．在可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点在小区间上如何选取，只要，极限值总是唯

5、一确定的.哪些函数是可积的呢？定理在闭区间上连续的函数必在上可积；在区间上有界且只有有限个间断点的函数也必在上可积.II．定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关，即．III．定义定积分时已假定下限小于上限，为便于应用，规定当时，．．2.2.2定积分的几何意义I．若，则积分表示如图所示的曲边梯形的面积，即．针对训练：用定积分表示下列图形的面积.(两名学生上黑板板书)学生1：学生2：随堂检测：利用定积分的几何意义求值:yxo12(请两名同学在黑板上板演，并解说自己的想法)学生3：（

6、略）学生4：半径为2的半圆，此积分计算的是半圆的面积.练习：计算下列定积分学生5：（略）学生6：（略）II．若，则积分表示如图5－3所示的曲边梯形面积的负值，即y=f(x)baOyx．这是显然的，因为此时曲边梯形各点处的高是而不是．对定积分的几何意义的几点补充说明：根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?aby=f(x)OxyyOxyy=f(x)学生7：可以用两部分面积的差表示：y=f(x)OyxIII．如果在上的值有正也有负，如图，则积分表示介于轴、曲线及直线之间各部分面积的代数和．即

7、在轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积：．2.2.3定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1性质2（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质3（定积分的线性性质）性质4（定积分对积分区间的可加性）教师：你能将性质4可加性推广到更一般的情况吗？（学生展开讨论，选取几个油代表性的，师生共同归纳得出）说明：①推广：②推广:③性质解释：性质4性质1练习：1、根据定积分的可加性，可将下列定积分表示为？学生8：2、计算定积分：学生9：（2）式表示半圆2.3发散思考，深入探索不计算积分，比较

8、下列各组积分的大小:(1),;(2),;(3),;(4),.（四名同学板演，教师巡视，各小组共同讨论得出）学生10：在同一区间内，函数值大的，对应的定积分值大。学生11：同一函数在不同区间内的积分值比较大小，先看函数值的正负，再看区间范围的大小.教师：表述更严谨应该怎么说？学生11：应该是区间长度的大小.教师：推广到一般情形呢？:学生12：若在区间上，，则．学生13：若在区间上，，则．学生14：先画图再定值.比较积分区间上两函