高中数学 2.5.1等比数列的前n项和导学案（含解析）新人教版必修5

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1、第二章第五节等比数列前n项和目标定位：1.了解等比数列前n项和公式的推导过程，掌握等数列的五个基本量之间的关系。2.掌握等比数列前N项和公式，性质及其应用。（重点）3.能应用错位相减法对数列求和。（难点）等比数列的前n项和公式[提出问题]已知等比数列{an}，公比为q，Sn是其前n项的和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.问题1：若q＝1，则Sn与a1有何关系？提示：Sn＝na1.问题2：若q≠1，你能用a1，q直接表示Sn吗？如何表示？提示：∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①两边同乘以q，可得：qSn＝a

2、1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn②①－②得：(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴当q≠1时，Sn＝.[导入新知]等比数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1，末项an与公比q公式Sn＝Sn＝[化解疑难]1．在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)．2．当q≠1时，若已知a1及q，则用公式Sn＝较好；若已知an，则用公式Sn＝较好．等比数列的前n项和公式的基本运算[例1]　在等比数列{an}中，(1)若a1＝1，a5＝16，且q＞0，求S7；(2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(3)若a3＝，S

3、3＝，求a1和公比q.[解]　(1)因{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16∴a5＝a1q4∴16＝q4∴q＝2(负舍)∴S7＝＝＝127.(2)法一：由Sn＝，an＝a1qn－1以及已知条件得∴a1·2n＝192，∴2n＝.∴189＝a1(2n－1)＝a1，∴a1＝3.又∵2n－1＝＝32，∴n＝6.法二：由公式Sn＝及条件得189＝，解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6.(3)①当q≠1时，S3＝＝，又a3＝a1·q2＝，∴a1(1＋q＋q2)＝，即(1＋q＋q2)＝，解得q＝－(q＝1舍去)，∴a1＝6.②当q＝1时

4、，S3＝3a1，∴a1＝.综上得或[类题通法]在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．[活学活用]1．在等比数列{an}中，(1)若q＝2，S4＝1，求S8.(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5；解：(1)设首项为a1，∵q＝2，S4＝1，∴＝1，即a1＝，∴S8＝＝＝17.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即∵a1≠0,1＋q2≠0

5、，∴②÷①得，q3＝，即q＝，∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×3＝1，S5＝＝＝等比数列前n项和的性质[例2]　设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20的值．[解]　由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．由题意可知上面数列的首项为S4＝2，公比为＝2，故S4n－S4n－4＝2n(n≥2)，所以a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32.[类题通法]等比数列前n项和的重要性质(1)等比数列{an}的前n项和Sn，满足Sn，S2n－S

6、n，S3n－S2n，S4n－S3n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)，这一性质可直接应用．(2)等比数列的项数是偶数时，＝q；等比数列的项数是奇数时，＝q.[活学活用]2．(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)A．2　　　　　　　　　B.C.D．3解析：(1)设公比为q(q≠0)，则题意知q≠－1，根据等比数列前n项和的性质，得＝＝1＋q3＝3，即q3＝2.于是＝＝＝.答案：B(2)等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.解析：由题意知：∴

7、∴公比q＝＝＝2.答案：2等比数列的综合应用[例3]　等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.[解]　(1)∵S1，S3，S2成等差数列，∴2S3＝S1＋S2，显然{an}的公比q≠1，于是＝a1＋，即2(1＋q＋q2)＝2＋q，整理得2q2＋q＝0，∴q＝－(q＝0舍去)．(2)∵q＝－，又a1－a3＝3，∴a1－a1·(－)2＝3，解得a1＝4.于是Sn＝＝.[类题通法]在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式

8、是解决问题的关键．[活学活用]3．已知