不定积分学习指导

《不定积分学习指导》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第四章不定积分1学习指导1.基本要求⑴正确理解原函数与不定积分的概念，熟悉原函数与不定积分的关系；⑵掌握并能推证不定积分的性质，牢记并能熟练运用基本积分公式；⑶熟练掌握求简单函数不定积分的直接方法；⑷掌握不定积分的换元积分法与分部积分法；⑸了解有理函数、简单无理函数、三角函数有理式的不定积分；⑹掌握求典型初等函数不定积分的方法；⑺掌握积分表的使用方法。2.重点与难点重点不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法，分部积分法；难点换元积分法。3.学习方法⑴不定积分与微分互为逆运算，“积分法”是在“微分法”的基础上建立起来的。由初等函数的微分法可推出求不定积分的法则。如由复合函数的求

2、导法则可以得到换元积分公式，由乘积的求导法则可以得到分部积分公式。⑵23求不定积分的方法是，设法将所求的积分化为基本积分表中已有的积分形式，以便运用公式求不定积分，具体转化时，可以利用积分性质、换元积分法、分部积分法及代数三角恒等变形等方法。常用的三角恒等式包括平方和（差）等于1、倍角的正弦及余弦公式、和差化积及积化和差公式。下面列出常用的求不定积分的方法。①直接积分法这种方法是将被积函数作代数、三角恒等变形，直接利用基本积分公式或不定积分的线性运算性质进行求解。②第一类换元积分法（凑微分法）这类积分法主要解决被积函数为复合函数的积分。求不定积分，关键是将被积表达式凑成复合函数

3、的微分的形式，再由得，即将积分转化为，若能求得的原函数，就得到了的不定积分，因此熟悉常见的凑微分形式非常重要。应注意，利用第一类换元法求不定积分时，有时不必写出换元积分变量，而将视为整体变量直接计算。常见的第一类换元积分类型如下：（为自然数）；；；，用于求积分（是自然数），用于求积分23（是自然数），用于求积分（是自然数），用于求积分（是自然数）；；；；。③第二类换元积分法第二类换元积分主要处理带根式的不定积分问题，关键是作一个适当的变量代换将根号去掉，使被积函数为，整理化简成，而函数的原函数容易求出，这里的选择与被积函数中根式的表达形式有关，代换时注意符号的讨论，求出原函数后

4、则应注意回代积分变量，特别是作三角代换计算不定积分后，应借助于辅助三角形进行变量还原，常见的第二类换元有下列类型：（令）；（令）；（令）；23，将被积函数配方，化成上述三种形式之一，再作变量代换；（令）；（令，是，的最小公倍数）；（令）；当被积函数含有时，常用变换化简被积表达式。④分部积分法当被积函数可视为和的乘积，即时，常用分部积分公式计算不定积分。使用分部积分公式求不定积分，关键是正确选择及，选择应遵循如下原则：由或容易求出；要比容易积分（即求导后形式更简单）。选择的一般方法是，将被积函数看成两函数之积，按反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数顺序，排在前面的取为

5、，后面的取为.⑤有理函数的积分有理函数的积分，可归结为多项式和真分式的积分，而真分式可分解为部分分式之和，因此求有理函数不定积分的步骤是：将被积函数进行分解，使被积函数=多项式+23部分分式（其中部分分式的分母为一次或二次不可约因式，分解部分分式所用的方法是待定系数法），然后分别求各部分的不定积分。理论上，任何有理函数都可以求出其不定积分，但将真分式化成部分分式有时十分困难，因此在解有理函数的积分时，应全面分析被积函数的特点，寻求其他简便方法。⑥三角有理式与简单无理式的积分某些无理根式及三角有理式的不定积分，经过变量代换常可化成有理函数的不定积分，无理根式的常见换元类型见本目③

6、.对三角有理式，经万能代换，有，，，从而是有理函数的积分，原则上应用万能代换可计算任意一个三角有理式的积分，但计算往往繁杂，因此，仅当没有更简便方法时才用此方法求解。⑶许多不定积分的计算需要综合运用上述各种方法，一般从被积表达式的形式可以决定先用哪种方法，后用哪种方法。求不定积分往往不止一种方法，用多种方法求解，可以培养灵活的思维能力，也可以比较解法之联系，从中选取最简解法。应注意，对不定积分用不同的方法求的结果，形式可能不完全相同，但它们的导数都等于被积函数。⑷注意，并非所有的连续函数都能求出其不定积分，原因是它们的原函数不是初等函数。如，，，，，23等。2解题指导1.基本积

7、分法例1求下列不定积分：⑴；⑵；⑶；⑷.解题思路此类积分形式比较简单，只需经过三角恒等变形或代数运算，就可利用基本公式求解。解⑴⑵⑶⑷例2计算.解题思路被积函数是绝对值函数或分段函数，求其不定积分，应先分别求函数在各段上相应区间内的不定积分，然后利用原函数的连续性，确定各任意常数间的关系，最后用一个任意常数表示其不定积分。解因为23于是由被积函数的连续性，有，即，所以2.第一类换元积分法例3求下列不定积分：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹.解题思路使用第一类换元法的关键是“凑”出函数的微分，方法是利用