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1、第四章不定积分学习指导知识脉络原函数1•基木概念<不定积分不定积分的几何意义不定积分2.性质与公式3.计算方法不定积分的性质基本积分公式「直接积分法第一换元积分法（凑微分法）第二换元积分法换元积分法4•特殊函数的积分分部分积分法查表法（有理函数积分三角函数有理式积分某些无理函数积分二、基本要求1.理解原畅数和不定积分的概念2.牢记基本积分公式3.熟练掌握第一换元法（凑微分法）和分部积分法三、重点和难点1.重点：第一换元积分法，分部积分法2.难点：第二换元积分法、特殊函数的积分四、问题与分析1.出不定积分的定义可知，求已知函数的不定积
2、分是找它的全体原函数。而找全体原函数的关键是求一个原函数，这个原函数的导数恰为已知函数。所以,积分法是微分法的逆运算，积分是否正确，可求出其导数来验证。2.不定积分的儿何意义：不定积分”（x）djt=F（x）+C是/心）的一•族积分曲线，这些曲线可以通过其屮任何一条沿着y轴上下平移得到。而月•这些曲线在横坐标和同的点兀。处的切线斜率都相同，均为/（x0）o3.由可导与不定积分Z间的关系知，求导数与求不定积分是互为逆运算,所以对一个函数先求导再求不定积分，其结果是该函数加上一个任意常数而对一个函数先求不定枳分，再求导数，其结果是原被积
3、函数。即=/(x)+C,务jf(x)dx=f(x)1.积分不变性定理：若Jf{x)dx=F(兀)+C,则jf(u)du=F(u)+C,具中u是x的可微函数。2.第二换元法是在难以或不可能应用第一换元法时，先采用一次适当的变量替换，使所求不定积分f{x]dx恒等变为相对容易积分或处理的不定积分Jg©⑴炒⑴心的所谓“缓一着”的方法。第二换元法屮常用的变量替换形式如下表所示:代换名称被积函数换元形式三角函数7a2-%2x=asint,te717V一亍3、/J/+X2/x=atgtte-71兀、巧⑦厶2—/x=asect,tg(71o
4、—I2丿无理函数灯axb^ax+b=t1x,:1——=txn同时含有{ax+fe)i和(ax+b)；{ax+=t6.运用分部积分公式求不定积分时应注意以下儿点：%1分部积分法与直接积分法，换元积分法在同一题忖中可交替使用;%1运用部分积分公式前，需将所求不定积分化为陋兀)/(兀加的形式，即需要选定/(兀)，g(x)之屮的某一个为u(x),另一个则为『(兀)。%1恰当地选择哪一个作”（兀），哪一个作『&）是至关重要的。一般地，选择u（x）和『（兀）的原则是（1）由『（兀）易求出其中一个原函数心）;（2）卜（血'（兀加比原积分^ii{x
5、）vx）dx容易计算；（3）连续两次或两次以上应用分部积分公式时，再一次选择的u（x）,『（x）须是前一次选择的同类函数（即若第一次选择指数函数为皿兀），则第二次仍选择指数函数为）皿兀），以免积分还原。常见的选择弘（兀）,『（兀）的方法如下表,供大家参考,表中匕⑴是多项式:不定积分类型u和『的选择J代(x)sinxdxu=Pn(x)，vz=sinx帆(x)cosxdxu=Pn(x).vf=cosxu=Pn(x),vr-ex帆(x)lnxd兀u=x,vf=Pn(x)(x)arcsinxJxu=arcsinx,vr=Pn(x)帆(
6、兀)arccosxd兀u=aircosx,vf=PH(x){x)arctgxdxu=arctgx,vr=Pn(x)pvsinxdx•9Yu=sinx,v=eJ"cosxdxu=cosx，vr=ex7.有理函数的积分解题程序%1用多项式除法，把被积函数代为一个整式与一个真分式之和；%1把真分式分解成部分分式之和。所谓部分分式是指：分母为质因式或一质因式的若干次幕，而分子的次数低于分母的次数:⑴若分母屮有因式（兀-。）"，则其部分分式相应地有〃个，即A-心A-..._A_(x-a}n'(%-a)"-1x-a其中A“，&「］,…，人为常数
7、。⑵若分母111有因式（x2+“x+g）"‘（P2~4q<0）,则部分分式相应的有m个,M}x+N}2x+px+qM存+N机叽兀+N心F+px+qY(x2+/zx+g)"i其中陆,Ni（心1,2，…，加）为常数。五、解题格式例1:求j（2x-3）,（x）dx解：原式=*J（2兀-3）皿〃（2兀-3）=诺（2兀-3）⑹+C—-—dxxlnx解：原式二12dlnx=—Inx+C2「詞,则心2s5[占卡f2sec2tdt原式=j9」4fgf・2secf4」sirrf=打如里=__+c4Jsin214sinr15/X2+4例4：求dx原式召
8、6妇6卜1+佥解:令K[x=t,则x=t6dx=6t5dtdt1A=6-t2-r+In11+H+CU丿=3頁-6y[x+6ln（l+仮）+C例5：求x2e-xdx解：原式=-卜切厂二—亍严+:卜厂必=-x2e'x-2xde'x=-
