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1、第四章不定积分教学与考试基本要求：1.理解原函数•不定积分的概念；2.会灵活运用不定积分的性质及基本积分公式求不定积分；3.会灵活运用第一类换元积分法求不定积分，会用第二类换元积分法来求被积函数含有根式的不定积分；4.会灵活运用分部积分法求不定积分；5.会计算简单有理函数的不定积分.4.1不定积分的概念及性质一、主要内容回顾表4-1不定积分的概念及性质原函数的概念如果在某区间I上可导函数F(x)的导函数为/(X),即对每一XG/,都有FV)=/(x)或dF(x)=f(x)dx则函数F(x)就称为f(x)在该区间上的原函数.如果函数/(%)在区间/上连续，则在I
2、上存在可导函数F(x),使F'(x)=f(x),xel,原函数存在的条件即连续函数一定有原函数.注①若/(X)在I上有原函数，则有无数多个原函数.②任意两个原函数只相差一个'常数.在区间/上，/(x)的所有原函数称为函数f(x)在区间/上的不定积分，记作Jf{x)dx.不定积分的概念若F(x)是/(x)在区间I上的原函数，则J7(x)dx=F(x)4-C,其中C为任意常数.(1)J(k/x=C.(2)^xpdx=—+C(“H-l).(3)=Inx+C.(4)iaxdx=——+C.JxJ】na(5)^Xdx=ex+C.(6)JcosxeZx=sinx+C.(7)
3、Jsin.皿=-cosx+C.(8)Jsec2xdx=tanx+C.基本积分公式<9)Jcsc2xdx=-cotx4-C.(io)Jsecxtanxdx=secx+C./x±(2)求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符兮外面來，即^kf(x)dx=k^f(x)dx(k为常数，且kH0).不
4、定积分与微分的关系先积后微，形式不变；先微后积，相差一个常数•即(1)]t=/w或dy(x)dx=f(x)dx・(2)^Fx)dx=F(x^C或^dF(x)dx=F(x)+C.二、基本题型及例题题型I判断题(对者打“V",错者打“X”)dtJ71+/VI+1(2)(1)解⑴rtl[p(x)6/]r=/(x)可知本题是对的.(2)由jF'(QZr=F(x)+C可知,
5、(sinx)dx=sinx+C.所以木题是错的.题型II选择题(1)若/(x)的导函数是sinx,则/(x)的一•个原函数是()A・1+sinxB・1一sinxC.1+cosxD.1-cosx(2
6、)
7、/(j)^=lx4-x2+C,则/(x)二()A.2x3-2xB.2x3-2x+CC.x3-xD.x4-2x解(1)由已知广(x)=sin兀，设F(x)是/⑴的一个原函数，即Fx)=/(x).则F©=ff(x)=sinx,将被选答案代入验证得(1-sinx/=sinx.故选B.(2)将所给等式的两端对兀求导,得f(x)=2xi-2x,故选A.题型III计算题(1)f—Jl+cos2xdx；(2)
8、secx(secx-tanx)dx；(2)secx(secx-tanx)dx解(1)fdx=[——^r—dx=—[sec2xdx=—tanx+C.J1+cos2
9、xJ2cos2x2J2xdx-Jsecjrtanxdx=tanx-secx+C.15_1dx=
10、(x4-2x12+x4)dx=15_1Jx4Jx-2Jx12Jx4dx4』241Z42=-x4-—x12+-x4+C.5173题型IV应用题-・曲线通过点（/，3）,且在任一点处的切线的斜率等丁该点横处标的倒数，求该曲线的方程.解山导数的儿何意义，得=lnx+C.则―乂Hz=3,所以c=i・故该［111线的方程为y=InX+1•三.习题选解（习题4-1）1.求卜•列不定积分(9)(10)cot2xdx；zax；10v(15)cos2x,sirrx(17)(9)dx=
11、j(-4JQinx+sec〜x)dx=tan%-cotx+C.V+—=smrcosx解(3)JJx長dx=1~~?2~5X-)clx=-cotx-x+C.(10)[cot2xdx=(13)j—10"2一x5一”51n221n5+C，cos2x,——T—axsinx=J1^14/a=sin2xx-2)dx=-cotx-2x+C•smrcosx(17)[―Tx=[(—)dx=arctanx+C•Jx2(l+x2)J(7-3x)dx=・x21+x2X3.已知曲线上任一点处的切线斜率为2x,且曲线通过点(1,-2),求此曲线方程.解设曲线方程为y=f(x).由题意知
12、：fx)=2x・两边同时对x积分，得
