高三数学一轮复习 专题二 第一讲 三角函数的图像与性质教案

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1、第一讲三角函数的图像与性质例1、已知函数f(x)=tan(sinx)（1）求f(x)的定义域和值域；（2）在（－π，π）中，求f(x)的单调区间；（3）判定方程f(x)=tanπ在区间（－π，π）上解的个数。解：（1）∵－1≤sinx≤1∴－≤sinx≤。又函数y=tanx在x=kπ+(k∈Z)处无定义，且（－，）[－,]（－π,π），∴令sinx=±，则sinx=±解之得：x=kπ±(k∈Z)∴f(x)的定义域是A={x

2、x∈R，且x≠kπ±，k∈Z}∵tanx在（－，）内的值域为（－∞，+∞），而当x∈A时，函数y=si

3、nx的值域B满足（－，）B，∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。（2）由f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的x=和x=处无定义。设t=sinx，则当x∈[0,)∪（，）∪（，π）时，t∈[0,∪(,，且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，），（，上分别单调递增。又∵当x∈[0，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈[0,当x∈（，时，函数t=sinx单调递增，且t∈（,当x∈[，时，函数t=sinx单调递减，且t∈（,当x∈（，π）时，函数t=sinx单调递减，且t∈（0，）∴f(x)=tan(sinx)在区间[

4、0，,（,上分别是单调递增函数；在上是单调递减函数。又f(x)是奇函数，所以区间（－，0，[－，－也是f(x)的单调递增区间是f(x)的递减区间。故在区间（－π，π）中,f(x)的单调递增区间为：[－，－，（－，），（，单调递减区间为。（3）由f(x)=tanπ得：tan(sinx)=tan(π)sinx=kπ+π（k∈Z）sinx=k+(k∈Z)①又∵－1≤sinx≤1，∴∴k=0或k=－1当k=0时，从①得方程sinx=当k=1时，从①得方程sinx=－+显然方程sinx=,sinx=－+，在（－π,π）上各有2个解，故

5、f(x)=tanπ在区间（－π，π）上共有4个解。说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=sinx的值域与y=tanx的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区间，必须先搞清f(x)的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。例2、设的周期，最大值，（1）求、、的值；（2）若、为方程的两个根，且、的终边不共线，求的值。解：(1)，，，又的最大值，①，且②，由①、②解出a=2,b=3.(2)，，，，或，即(共线，故舍去)，或，.说明：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题

6、时不要忘记三角函数的周期性。例3、已知函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数.求的值。解：由是偶函数，得，即，所以,对任意x都成立，且，所以得，依题设，所以解得.由的图象关于点M对称，得，取得所以，…，….当k=0时，上是减函数；当k=1时，上是减函数；当时，上不是单调函数.所以，综合得.例4、已知函数，．（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．（II）求函数的单调递增区间．命题目的：本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力.解：（I）由题设知．因为是函数图象的一条对

7、称轴，所以，即（）．所以．当为偶数时，，当为奇数时，．（II）．当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）