2016高考数学大一轮复习 12.3几何概型教师用书 理 苏教版

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1、§12.3　几何概型1．几何概型设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．在几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝.3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号

2、中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(　√　)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　√　)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　√　)(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　×　)(5)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.(　×　)1．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________．答案　解析　坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为.2．(2014·辽宁

3、改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________．答案　解析　设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.3．(2014·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案　0.18解析　由题意知，这是个几何概型问题，＝＝0.18，∵S正＝1，∴S阴＝0.18.4．(2013·山东)在区间[－3,3]上随机取一个数x使得

4、x＋1

5、－

6、x－2

7、≥1成立的概率为________．答案　解析　由绝对值的几何

8、意义知：使

9、x＋1

10、－

11、x－2

12、≥1成立的x值为x∈[1,3]，由几何概型知所求概率为P＝＝＝.题型一　与长度、角度有关的几何概型例1　(1)在区间[－1,1]上随机取一个数x，求cosx的值介于0到之间的概率．(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．解　(1)如图，由函数y＝cosx的图象知，当－1

13、，所以BD＝＝1，∠BAD＝30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式，得P(N)＝＝.思维升华　几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．　(1)(2014·湖南改编)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为________．(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．答案　

14、(1)　(2)解析　(1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝.(2)记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长(此时F为OE中点)，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：P(A)＝＝.题型二　与面积、体积有关的几何概型例2　(1)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这

15、个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．思维点拨　求随机点所在区域与所有区域的面积或体积比．答案　(1)　(2)解析　(1)如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是.(2)先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×13＝π.则点P到点O的距离小于或等于