高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系学案 新人教a版选修4-4

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1、一　平面直角坐标系1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用．2．通过具体例子，了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况．1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与________________、曲线与______建立了联系，从而实现了________的结合．(2)坐标法：根据几何对象的______，选择适当的坐标系，建立它的______，通过______研究__________及____________________．(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐

2、标和方程表示问题中涉及的______元素，将几何问题转化成______问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．【做一做1－1】已知平面内三点A(2,2)，B(1,3)，C(7，x)，且满足⊥，则x的值为(　　)．A．3B．6C．7D．9【做一做1－2】设平行四边形ABCD的顶点为A(0,0)，B(0，b)，C(a，c)，则第四个顶点D的坐标是(　　)．A．(a，b＋c)B．(－a，b＋c)C．(a，c－b)D．(－a，b－c)【做一做1－3】已知平行四边形ABCD，求证：AC2＋B

3、D2＝2(AB2＋AD2)2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为______伸缩变换，这就是用__________研究______变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换________________的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．【做一做2－1】如何由正弦曲线y＝sinx经伸缩变换得到y＝sinx的图象(　　)．A．将横坐标压缩为原来的，

4、纵坐标也压缩为原来的B．将横坐标压缩为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍C．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的【做一做2－2】将正弦曲线y＝sinx作如下变换：得到的曲线方程为(　　)．A．y′＝3sinx′B．y′＝sin2x′C．y′＝sin2x′D．y′＝3sin2x′答案：1．(1)坐标(有序实数对)　方程　数与形(2)特征　方程　方程　它的性质　与其他几何图形的关系(3)几何　代数【做一做1－1】　C　＝(1，－1)，＝(5，x－2)，∵⊥，∴·＝5－(x

5、－2)＝0.∴x＝7.【做一做1－2】　C　设D(x，y)，由题意，＝，即(0，b)＝(a－x，c－y)，∴x＝a，y＝c－b.∴顶点D的坐标为(a，c－b)．【做一做1－3】　证明：以边AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)．设B(a,0)，C(b，c)，则由对称性知D(b－a，c)，∴AB2＝a2，AD2＝(b－a)2＋c2，AC2＝b2＋c2，BD2＝(b－2a)2＋c2.∵AC2＋BD2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，而AB2＋AD2＝2a2＋b2＋c2－2

6、ab，∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．2．(1)坐标　代数方法　几何(2)φ：【做一做2－1】　D【做一做2－2】　D建立平面直角坐标系的方法剖析：一般情况下，有如下建立平面直角坐标系的方法：(1)当题目中有两条互相垂直的直线时，以这两条直线为坐标轴，建立平面直角坐标系；(2)当题目中有轴对称图形时，以轴对称图形的对称轴为坐标轴，建立平面直角坐标系；(3)当题目中有已知长度的线段时，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点，建立平面直角坐标系．在建立平面直角坐标系时，应使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上．平面直角坐

7、标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件．题型一用平面直角坐标系解决实际问题【例1】如图所示，A，B，C是三个观察站，A在B的正东，两地相距6km，C在B的北偏西30°，两地相距4km，在某一时刻，A观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1km/s,4s后B，C两个观察站同时发现这种信号，在以过A，B两点的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P的坐标．分析：由题意可知，点P所在的位置满足两个条件：(1)在线段BC的垂直平分线上，(2)在以A，B为焦点的双曲线上．反思

8、：合理建立坐标系是我们解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，反之，将会带来计算的繁琐，结果也不明确．题型二平面直角坐标系下的轨迹问题【例2】△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条直线移动