考研数学不定积分讲义(卓越资料

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1、卓越考研卓而优越则成卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编10卓越考研卓而优越则成第四章不定积分A基本内容一、基本概念与性质1、原函数与不定积分的概念(1)原函数设函数和在区间上有定义，若在区间上成立，则称为在区间上的原函数，(2)不定积分在区间中的全体原函数称为在区间的不定积分，记以。其中称为积分号，称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式。2、原函数的存在性设在区间上连续，则在区间上原函数一定存在。初等函数的原函数不一定是初等函数。例如，，，，，等。被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积

2、不出来。3、不定积分的性质设，其中为的一个原函数，为任意常数。则（1）或（2）或（3）（4）二、基本积分公式1．2．10卓越考研卓而优越则成3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．三、换元积分法和分部积分法1、第一换元积分法（凑微分法）设，又可导，则这里要求考生对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。10卓越考研卓而优越则成常用的几种凑微分形式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）10卓越考研卓而优

3、越则成（18）（19）（20）2、第二换元积分法设可导，且，若，则其中为的反函数。第二换元积分法主要使用在以下情况：(1)、幂代换被积函数是与或与或由构成的代数式的根式，例如等。只要令根式，解出已经不再有根式，那么就作这种变量替换即可。(2)、三角代换被积函数含有，如果仍令解出仍是根号，那么这样变量替换不行，要作特殊处理，将时先化为，时，先化为然后再作下列三种三角替换之一：根式的形式所作替换三角形示意图（求反函数用）10卓越考研卓而优越则成值得注意：如果既能用上述第二换元积分法，又可以用第一换元积分法，那么一般用第一换元积分法比较简

4、单。例1、例2、例3、(3)、倒代换(4)、指数代换3、分部积分法设，均有连续的导数，则或10卓越考研卓而优越则成使用分部积分法时被积函数中谁看作谁看作有一定规律。（1），，情形，为次多项式，为常数，要进行次分部积分法，每次均取，，为；多项式部分为。（2），，情形，为次多项式取为，而，，为，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。（3），情形，进行二次分部积分法后要移项，合并。（4）比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微分法，使尽量多的因子和凑成。B典型例题一、直接积分法所谓直接积分法就是用代数或三角恒等式，并

5、用积分的性质和基本积分公式能直接求出不定积分，它要求初等数学有关公式很熟练。例1、求例2、求下列不定积分（1）（2）（3）（4）例3、求10卓越考研卓而优越则成例4、求下列不定积分（1）（2）例5、求下列不定积分（1）（2）（3）（4）分析：三角函数中的倍角公式，在不定积分的计算中常可起到简化计算的作用。上述四个题都是用倍角公式进行化简，再用基本积分公式积分。二、第一换元积分法例1、求下列不定积分（1）（2）（3）例2、求下列不定积分（1）（2）（3）（4）10卓越考研卓而优越则成例3、求下列不定积分：（1）（2）（3）（4）分析：

6、这四个题中均含有，而，因而可以用凑微分的方法积分。例4、求下列不定积分（1）（2）（3）（4）例5、求下列不定积分（1）（2）（3）（4）例6、求下列不定积分（1）（2）10卓越考研卓而优越则成（3）（4）三、第二换元积分法例1、求例2、求下列不定积分（1）（2）（3）（4）例3、求下列不定积分（1）（2）（3）（4）10卓越考研卓而优越则成四、分部积分法（有时还用了换元积分法）例1、求下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）例2、求下列不定积分（1）（）（2）（3）（4）10