资源描述：
《数学分析(西北师范大学(6)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、SF01（数）Ch14幂级数计划课时：10时P171—1892002.05.08.189Ch14幂级数（10时）§1幂级数（4时）幂级数的一般概念.型如和的幂级数.幂级数由系数数列唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一.幂级数的收敛域:1.收敛半径、收敛区间和收敛域：Th1（Abel）若幂级数在点收敛，则对满足不等式的任何，幂级数收敛而且绝对收敛；若在点发散，则对满足不等式的任何，幂级数发散.证收敛,{}有界.设
2、
3、,有
4、,其中..定理的第二部分系第一部分的逆否命题
5、.幂级数和的收敛域的结构.定义幂级数的收敛半径R.收敛半径R的求法.Th2对于幂级数,若,则189ⅰ>时,;ⅱ>时;ⅲ>时.证,(强调开方次数与的次数是一致的).……由于,因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数的收敛区间:.幂级数的收敛域:一般来说,收敛区间收敛域.幂级数的收敛域是区间、、或之一.例1求幂级数的收敛域.例2求幂级数的收敛域.例3求下列幂级数的收敛域:⑴;⑵.2.复合幂级数:令,则化为幂级数.设该幂级数的收敛区间为，则级数的收敛区间由不等式确定.可相应考虑收敛域.特称幂级数为正整数)为缺项幂级数.其中.应注意
6、为第项的系数.并应注意缺项幂级数并不是复合幂级数,该级数中,为第项的系数.例4求幂级数的收敛域.189解是缺项幂级数..收敛区间为.时,通项.因此,该幂级数的收敛域为.例5求级数的收敛域.解令,所论级数成为幂级数.由几何级数的敛散性结果,当且仅当时级数收敛.因此当且仅当,即时级数收敛.所以所论级数的收敛域为.例6求幂级数的收敛半径.解.Ex[1]P64—651，7；[4]P309—31215—19，39⑴⑷⑸，40⑶—⑹⑻，41⑵.二．幂级数的一致收敛性：Th3若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛.证,设
7、,则对,有,级数绝对收敛,由优级数判别法,幂级数在上一致收敛.因此,幂级数在区间内闭一致收敛.189Th4设幂级数的收敛半径为,且在点(或)收敛,则幂级数在区间(或)上一致收敛.证.收敛,函数列在区间上递减且一致有界,由Abel判别法,幂级数在区间上一致收敛.易见,当幂级数的收敛域为(时,该幂级数即在区间上一致收敛.三.幂级数的性质:1.逐项求导和积分后的级数:设,*)和**)仍为幂级数.我们有命题1*)和**)与有相同的收敛半径.(简证)值得注意的是，*)和**)与虽有相同的收敛半径（因而有相同的收敛区间），但未必有
8、相同的收敛域，例如级数.2.幂级数的运算性质:定义两个幂级数和在点的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.命题2,.(由以下命题4系2)命题3设幂级数和的收敛半径分别为和,,189则ⅰ>,—Const，.ⅱ>+,.ⅲ>()(),,.3.和函数的性质:命题4设在(内.则ⅰ>在内连续;ⅱ>若级数或收敛,则在点(或)是左(或右)连续的;ⅲ>对,在点可微且有;ⅳ>对,在区间上可积,且.当级数收敛时,无论级数在点收敛与否,均有.这是因为:由级数收敛,得函数在点左连续,因此有.系1和函数在区间内任意次可导,且有,…
9、….189由系1可见,是幂级数的和函数的必要条件是任意次可导.系2若,则有例7验证函数满足微分方程.验证所给幂级数的收敛域为..,代入,.Ex[1]P653(提示),4,6.§2函数的幂级数展开（4时）一.函数的幂级数展开:1.Taylor级数:设函数在点有任意阶导数.Taylor公式和Maclaurin公式.Taylor公式：.余项的形式:Peano型余项:,189（只要求在点的某邻域内有阶导数，存在）Lagrange型余项:在与之间.或.积分型余项:当函数在点的某邻域内有阶连续导数时,有.Cauchy余项:在上述积
10、分型余项的条件下,有Cauchy余项.特别地，时，Cauchy余项为在与之间.Taylor级数:Taylor公式仅有有限项,是用多项式逼近函数.项数无限增多时,得,称此级数为函数在点的Taylor级数.只要函数在点无限次可导,就可写出其Taylor级数.称=时的Taylor级数为Maclaurin级数,即级数.自然会有以下问题:对于在点无限次可导的函数,在的定义域内或在点的某邻域内,函数和其Taylor级数是否相等呢?1892．函数与其Taylor级数的关系：例1函数在点无限次可微.求得.其Taylor级数为.该幂级数
11、的收敛域为.仅在区间内有=.而在其他点并不相等,因为级数发散.那么,在Taylor级数的收敛点,是否必有和其Taylor级数相等呢?回答也是否定的.例2函数在点无限次可导且有(参阅Ch5习题课例6），因此其Taylor级数，在内处处收敛.但除了点外,函数和其Taylor级数并不相等.另一方面,由本章§1命题4系2（和函数的性质）知
