学案11函数与方程(1)

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1、学案11　函数与方程导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．自主梳理1．函数零点的定义(1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与____有交点⇔函数y＝f(x)有________．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点

2、，即存在c∈(a，b)，使得________，这个____也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点________，________________无交点零点个数________________________4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度ε；第二步，求区间(a，b)的中点c；第三步，计算______：①若________，则c就是函数的零

3、点；②若________，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；③若________，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]；第四步，判断是否达到精确度ε：即若

4、a－b

5、<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．自我检测1．(2010·福建)f(x)＝的零点个数为(　　)A．0B．1C．2D．32．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点(　　)A．至少有一个B．至多有一个C．有且只有一个D．可能有无数个3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(　　)A．①②B．①③C．①④D．③④4．设f(x)＝3x＋3x－8，

6、用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根所在的区间是(　　)A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能确定5．(2011·福州模拟)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　)A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝ln(x－0.5)探究点一　函数零点的判断例1　判断函数y＝lnx＋2x－6的零点个数．变式迁移1　(2011·烟台模拟)若定义在R上的偶函数f(x)

7、满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3

8、x

9、的零点个数是(　　)A．多于4个B．4个C．3个D．2个探究点二　用二分法求方程的近似解例2　求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．变式迁移2　(2011·淮北模拟)用二分法研究函数f(x)＝x3＋ln的零点时，第一次经计算f(0)<0，>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为(　　)A.　B．(0,1)　fC.　D.　探究点三　利用函数的零点确定参数例3　已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，

10、如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．变式迁移3　若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值范围．1．全面认识深刻理解函数零点：(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；(3)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；(4)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．2．求函数y＝f(x)的零点的方法：(1)(代数法)求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)

11、；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)·f(b)<0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．3．有关函数零点的重要结论：(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．(满分：75分)一