资源描述：
《2013年第18届初中数学“华杯”赛总决赛选拔测试备选题6》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2013年第18届初中“华杯”赛总决赛选拔测试备选题61.如图，三条长度为1、两两夹角为60°的线段AD、BE、CF交于同一点O.如果△OAB、△OCD、△OEF的面积之和是，求以AB、CD、EF为三边的三角形的面积.解：延长OE到M使EM=BO，延长OF到N使FN=CO，连接MN并在MN上取点P使MP=AO，则△EMP≌△BOA，△FPN≌△CDO，△EFP就是以AB、CD、EF为三边的三角形，其面积等于S△EFP=S△OMNS△OABS△OCDS△OEF=.2.如图，△ABE是等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，∠C=90°，E在线段CD上，AD∥BC，△ADE的面积为10
2、，求△BCE的面积.解：作BF⊥DA于F，则BCDF是正方形，△ABF≌△EBC，AF=EC，DA=DE，DE=，设EC=x，则，，，BC=，S△BCE=5.3.，求S的个位数字.解：（mod10）8（mod10），S的个位数字是8.4.已知a、b、c是质数，且，求a+b+c.解：a、b中必有一个为2，不妨设，则，，或，，，a+b+c=68.5.求使是完全平方数的所有质数p.解：设时，k=2.时，若，则k=3时，，无质数解.k=4时，，p=5.若，则，无解.6.证明存在连续2013个正整数使得它们均不为整数的幂（非0、1次）.解：考虑前个数，其中若一个数为整数的幂（非0、1次），
3、显然底数最大为（），指数小于2013（），故这样的数少于个，故将1~从小到大每2013个数分为一组，必有一组中所有数都不为整数的幂，满足条件.7.是三个大于1的正整数，且整除，求的所有可能值.解：故，不妨设，则易得8.求所有满足下列条件的正整数n.（1）n至少含有4个正因子；（2）对于n的任意正因子，且，则.解：若n为奇数，则有两个非1非本身的奇约数，其差为偶数，矛盾!故n为偶数.设n=2k，显然，则即故n=6，8，12，经检验都满足条件.9.求所有长、宽、高都为整数的长方体，使得其表面积与体积的值相等.解：设长、宽、高为x、y、z，则不妨设，显然，若则若则时，时，时，时，综上1
4、0.求所有使等于质数的正奇数对.解：设，则是质数，所以，，设，则，（1）如果，则.（2）如果，则或（m
5、）①时，，，，，无解；②时，，，，，无解.答.11.表示不超过x的最大整数，求出所有满足等式的数n.解：，，，，所以，又因为182
6、n，所以或546或728，检验得12.平面上给定6个点，这些点两两之间连线互不平行，又不垂直，也不重合.从任何一点开始，向其余5个点两两之间的连线作垂线.问：所有这些垂线间的交点数最多是多少？（不计已知6个点）答：13.13支球队进行单循环赛（即每两支球队恰比赛一次），结果没有出现平局，并且发现一种现象：有三支球队，其中每支球队都胜了一支球队并负于
7、另外一只球队.我们把满足上述现象的三支球队称为一个“友好三角”.问：所有比赛结束后最多有多少个“友好三角”？答：个14.考虑所有格子方块（x,y），其中x、y是非负整数，它是方块左下顶点的坐标，并就用作该方块的标记.把方块（0,0），（0,1）（1,0）（0,2）（2,0）（1,1）涂上阴影.在方格中放一些棋子，可进行如下操作：若（x,y）中有棋子，且（x+1,y）和（x,y+1）中都没有棋子，可去掉（x,y）中的棋子，在（x+1,y）和（x,y+1）中各放一枚棋子.（1）在六个阴影格中各放一枚棋子（2）在（0,0）中放一枚棋子分别考虑（1）和（2）的情形，能否经过有限次操作，使
8、阴影格中没有棋子？解：对（x,y）赋权，则每次操作不改变所有棋子权的总和.所有格总权为4，阴影格总权为，其余格总权为，故情形（1）不能.情形（2）中，若可行，第1行或第1列中至多只能有1个棋子，其权最多为，除去这行这列和阴影格剩下格子的权总和为，而有限次操作不可能将这些格填满.15.有2013个小球，甲、乙两人轮流取球，每次可以取1、4、5个球，取完球的获胜.问：若甲先取，甲是否有必胜策略？并证明之.解：有，甲先取5个球，之后使每次取完之后剩下的球数模8余0或2若当前模8余0，乙取1则甲取5，乙取5则甲取1，乙取4则甲取4；若当前模8余2，乙取1则甲取1，乙取5则甲取5，乙取4则
9、甲取4.16.在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后画去其中2行与2列．若无论怎样画，都至少有一个红色的小方格没有被画去，则至少要涂多少个小方格?证明你的结论．解：至少要涂7个小方格．若涂色格数≤4，则适当画去2行与2列必能把涂色小方格全部画去．若涂色格数是5，则至少有一行有2格涂色，画掉这一行，剩下的涂色格数不超过3，再画去l行、2列必能把涂色小方格全部画去．若涂色格数是6，则至少有一行有3格涂色，或至少有二行各有2格涂色，故画去2行至少能画去4格涂色小方格，剩下涂色格
