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1、第十章曲线积分与曲面积分一、学习目的与要求1、加深理解两类曲线积分的概念与性质。2、熟练掌握两类曲线积分的计算法。3、熟悉并会应用格林公式及平面曲线积分与路径无关的条件。4、知道曲线积分的一些简单应用。5、加深理解两类曲面积分的概念与性质。6、掌握两类曲面积分的计算方法。7、掌握高斯公式，并会利用高斯公式计算曲面积分。8、了解斯托克斯公式及散度与旋度等概念。9、能用曲面积分来表达一些几何量与物理量（如质量、重心等）。二、学习重点对坐标的曲线积分的计算与格林公式。对坐标的曲面积分的计算与高斯公式。三、内容提要1、第一型曲线积分（对弧长
2、的曲线积分）（Ⅰ）定义，其中L为空间光滑或分段光滑的曲线弧，是L上的有界函数，是将L任意划分成的n个小弧段，（）是上任意一点。也表示其长度（.（Ⅱ）可积性若函数是L上的连续函数，则存在。（Ⅲ）性质设L是有限长的分段光滑曲线，在L上连续，A、B分别为L的起点和终点，则有（1）即第一型曲线积分与曲线L的方向无关。（2）(为常数)（3）若L由两段弧L1和L2构成，则（4）存在（），使=(s为曲线L的弧长)64（IV）计算法则（1）设空间分段光滑曲线L的参数方程为其中在[]上有连续导数，则有：其中=为曲线L弧长的微分。（2）关于平面曲线积分
3、的计算方法10若平面曲线L的参数方程为,则，20若平面曲线L的方程为，则，30若平面曲线L的方程为，则40若平面曲线L由极坐标方程给出，则，，注：第一型曲线积分化为定积分时，定积分的下限一定不大于上限。（Ⅴ）应用（1）求曲线L的弧长（2）求曲线弧的质量与重心：若为光滑曲线L在点处的线密度，则曲线L的质量M为：；设曲线L的重心坐标为，则64类似重积分，还可写出求曲线的转动惯量公式及曲线对质点的引力公式。2、第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）（Ⅰ）定义设是定义在有向曲线L上的函数，为有向曲线L在点（）处的单位切线矢量，若积分存在，称它为
4、矢量函数（或函数组）沿曲线L的第二型曲线积分（或对坐标的曲线积分）。记，则，于是又可记作或（Ⅱ）可积性若，在光滑曲线L上连续，则存在。（Ⅲ）性质（1）即第二型曲线积分与曲线的方向有关。（2）为常数）（3）若有向曲线L平行于面，则若有向曲线L平行于面，则若有向曲线L平行于面，则若有向曲线L是平行于x轴的直线段，则，其余类推。（IV）计算法则（1）设空间分段光滑有向曲线L的参数方程为的起点对应，终点对应，则（2）关于平面第二型曲线积分的计算方法6410若平面有向光滑曲线L的参数方程为的起点对应，终点对应，则20若平面有向曲线L由直角坐标
5、系下的方程给出，L的起点对应，终点对应，则（Ⅴ）应用质点沿有向曲线L从起点运动到终点时变力所做的功W为：或（VI）全微分式的积分L是以A为起点，B为终点的分段光滑曲线，函数在L上连续，若存在可微函数,使得，则平面曲线积分也有类似结论。（VII）格林（Green）公式设平面闭区域D的边界是分段光滑曲线L，函数在D上有一阶连续偏导数，则有：其中L是D的取正向的边界曲线。（VIII）平面上曲线积分与路径无关的条件设D是平面单连通域，函数在D内有连续的一阶偏导数，则以下条件互相等价。（1）、对D中任一分段光滑曲线L，积分与路径无关，只与L的
6、起点和终点有关。（2）、沿D中任一分段光滑闭曲线L有：64（3）、在D内每一点处有（4）、在D内存在，使得，且，这里的为D内任意一定点，c为任意常数。（IX）两类曲线积分之间的联系其中为有向曲线L在点处的单位切线矢量。3、第一型曲面积分（对面积的曲面积分）（Ⅰ）定义，其中S是空间分片光滑的曲面，是定义在S上的有界函数，,,…,是将S划分成的个小曲面,为小曲面上任意一点,也表示其面积,{的直径}。（Ⅱ）可积性若在光滑曲面S上连续，则存在。（Ⅲ）性质与第一型曲线积分性质相同。（Ⅳ）计算法则(1)设曲面S有方程，它在面上投影区域为，则=（
7、2）设曲面S有方程，它在面上投影区域为，则=（3）设曲面S有方程，它在面上投影区域为，则64=（Ⅴ）应用（1）计算曲面面积：（2）计算曲面的质量：，其中为曲面S在处的面密度。（3）计算曲面的重心:,,（4）计算曲面的转动惯量：,,,.（5）类似三重积分计算曲面对质点的引力。4、第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）（Ⅰ）定义设、、是定义在有向曲面上的函数，记,为有向曲面指定一侧在处的单位法矢量。若存在，则称它为矢量函数（或函数组）在有向曲面上的第二型曲面积分。记,,,分别表示曲面在面、面、面上的有向投影，则可记==因此，第二型曲面积分也
8、称为对坐标的曲面积分。（Ⅱ）可积性若、、在光滑有向曲面上连续，则存在。（Ⅲ）性质(1)若记（-）是相反的一侧的有向曲面，则64=(2)若有向曲面由和两部分组成，则=+(3)=+，其中为常数。(4)当有向曲面垂直于面时；当有向曲面垂直于
