《曲面曲线积分》word版

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1、《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案第十章曲线积分与曲面积分一、教学目标及基本要求：1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2、会计算两类曲线积分3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。二、教学内容及学时分配：第一节对弧长的曲线积分2学时第二节对坐标的曲线积分2学时第三节格林公式及其应用

2、4学时第四节对面积的曲面积分2学时第五节对坐标的曲面积分2学时第六节高斯公式通量与散度2学时第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时三、教学内容的重点及难点：1、二类曲线积分的概念及其计算方法2、二类曲面积分的概念及其计算方法3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。5、两类曲线积分的关系和区别6、两类曲面积分的关系和区别7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用五、思考题与习题第一节习题10—1131页：3（单数）、4、5第二节习题10-2141页：3（单数）、4、5、7（单数）第三节习题10-3153页：1、2、3、4（单数）

3、、5（单数）6（单数）、7第四节习题10-4158页：4、5、6（单数）、7、8第五节习题10-5167页：3（单数）、4第六节习题10-6174页：1（单数）、2（单数）、3（单数）第七节习题10-7183页：1（单数）、2、3、4第一节对弧长的曲线积分一、内容要点由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。1、引例：求曲线形构件的质量第十章曲线积分与曲面积分第5页共5页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案最后举例巩固计算方法的掌握。2、为第一类曲线积分，其中为曲线，被积函数中的点位于曲线上，即必须满足对应的方程，是弧微分、弧长元素。若是

4、封闭曲线，则第一类曲线积分记为3、第一类曲线积分的应用：1）、曲线的长s=2）、若空间曲线形物体的线密度为，，则其质量M;质心坐标为，其中;对x轴的转动惯量4、第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线参数方程为：，，则，=。例1　计算，其中：，，，解　因为==，,所以例2，其中为球面与平面的交线；解的参数方程为，，，根据对称性得到=例3　计算，其中解　:,,　或解：被积函数中的点位于曲线上，即必须满足对应的方程，所以，==二、教学要求和注意点1、理解对弧长的曲线积分的概念，了解对弧长的曲线积分的性质2、掌握计算对弧长的曲线积分的方法3、对弧长的曲线积分与曲线方向无关，化弧长的曲线

5、积分为定积分时，定积分的上限不能比下限小。第二节对坐标的曲线积分一、内容要点第十章曲线积分与曲面积分第5页共5页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案引例：变力沿曲线所作的功由例子引入对坐标的曲线积分的定义，给出性质然后介绍将对坐标的曲线积分化为定积分的计算方法，并强调指出两类曲线积分化为定积分的计算方法，最后举例巩固计算方法的掌握。一、为第二类曲线积分，其中是一条定向曲线，为向量值函数，为定向弧长元素（有向曲线元）若曲线的参数方程为：，则切向量，单位切向量弧长元素=定向弧长元素======上面的等式表明第二类曲线积分可以化为为第一类曲线积分。例1把第二类曲线积分化成第一类曲线积分，其中

6、为从点到点的直线段。解方向向量，其方向余弦，原式==例2.把第二类曲线积分化成第一类曲线积分，其中为从点沿上半圆周到点解的参数方程为，切向量其方向余弦，，==。二、第二类曲线积分的应用：若一质点从点A沿光滑曲线（或分断光滑曲线）移动到点B，在移动过程中，这质点受到力，则该力所作的功W==三、第二类曲线积分的计算方法：1、若空间定向曲线的参数方程，则第十章曲线积分与曲面积分第5页共5页《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案=2、若平面定向曲线的参数方程：，则=例1计算，其中为曲线上从到的一段弧。解==。例2　　计算曲线积分，其中是曲线　从轴正向看去，取顺时针方向分析　先写出曲线的参数方程，

7、可令，，则，为参数，由题设，的起点、终点对应的参数值分别为和0；在代入计算公式。解　曲线的参数方程为　，，，，于是原式．二、教学要求和注意点1、二类曲线积分的定义及计算方法，并讲清楚它们的联系和区别。2、曲线积分与二重积分由格林公式联系起来，并由此得出结果——可用曲线积分计算平面图形的面积。在本章的讲述中，应提醒学生注意：1、对坐标的曲线积分与曲线方向有关。2、求曲线型构件的质量转动惯量，长度及重心坐标用对弧长的曲线积分；求变力沿曲线所作的功用对坐标的曲线积分。第三节格林公式及其应用一、内容要点先介绍单