高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程教案 文 新人教a版选修2-1

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1、2.4.1抛物线及其标准方程教学目标知识与技能:使学生掌握抛物线的定义,理解焦点、准线方程的几何意义,能够根据已知条件写出抛物线的标准方程。过程与方法:掌握开口向右的抛物线的标准方程的推导过程,进一步理解求曲线的方法——坐标法;通过本节课的学习,学生在解决问题时应具有观察、类比、分析和计算的能力。情感、态度与价值观:通过一个简单实验引入抛物线的定义,可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育.教学重、难点重点:抛物线的定义和标准方程.难点:抛物线的标准方程的推导.教学准备多媒体课件教学过程(一)导出课题我们已学习了圆、椭圆、双曲线三

2、种圆锥曲线.今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线,以及它的定义和标准方程.课题是“抛物线及其标准方程”.请大家思考两个问题:问题1:同学们对抛物线已有了哪些认识?在物理中,抛物线被认为是抛射物体的运行轨道;在数学中,抛物线是二次函数的图象?问题2:在二次函数中研究的抛物线有什么特征?在二次函数中研究的抛物线,它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形.引导学生进一步思考:如果抛物线的对称轴不平行于y轴,那么就不能作为二次函数的图象来研究了.今天,我们突破函数研究中这个限制,从更一般意义上来研究抛物线.(二)抛物线的定义1.回顾平面

3、内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹,当0<e<1时是椭圆,当e>1时是双曲线,那么当e=1时,它又是什么曲线?2.简单实验如图2-29,把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上,一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘;把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A,截取绳子的长等于A到直线l的距离AC,并且把绳子另一端固定在图板上的一点F;用一支铅笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺左右滑动,这样铅笔就描出一条曲线,这条曲线叫做抛物线.反复演示后,请同学们来归纳抛物线的定义,教师总结.

4、3.定义这样,可以把抛物线的定义概括成:平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上).定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.(三)抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0).下面,我们来求抛物线的方程.怎样选择直角坐标系,才能使所得的方程取较简单的形式呢?让学生议论一下,教师巡视,启发辅导,最后简单小结建立直角坐标系的几种方案:方案1:(由第一组同学完成,请一学生板练.)以l为y轴,过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30).设定点F(p,0),动点

5、M的坐标为(x,y),过M作MD⊥y轴于D,抛物线的集合为:p={M

6、

7、MF

8、=

9、MD

10、}.化简后得:y2=2px-p2(p>0).方案2:(由第二组同学完成,请一学生板练)以定点F为原点,平行l的直线为y轴建立直角坐标系(如图).设动点M的坐标为(x,y),且设直线l的方程为x=-p,定点F(0,0),过M作MD⊥l于D,抛物线的集合为:p={M

11、

12、MF

13、=

14、MD

15、}.化简得:y2=2px+p2(p>0).方案3:(由第三、四组同学完成,请一学生板练.)取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴,建

16、立直角坐标系(如图.抛物线上的点M(x,y)到l的距离为d,抛物线是集合p={M

17、

18、MF

19、=d}.化简后得:y2=2px(p>0).比较所得的各个方程,应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢?引导学生分析出:方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程.这是因为这个方程不仅具有较简的形式,而方程中的系数有明确的几何意义:一次项系数是焦点到准线距离的2倍.由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况,抛物线的标准方程有四种情形(列表如下):将上表画在小黑板上,讲解时出示小黑板,并讲清为什么会出现四种不同的情形,四种情形中P>0;并指出图形的位置特征和方程

20、的形式应结合起来记忆.即:当对称轴为x轴时,方程等号右端为±2px,相应地左端为y2;当对称轴为y轴时,方程等号的右端为±2py,相应地左端为x2.同时注意:当焦点在正半轴上时,取正号;当焦点在负半轴上时,取负号.(四)四种标准方程的应用例题:(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.方程是x2=-8y.练习:根据下列所给条件,写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(3,0);(3)焦点到准线的距离是2.由三名学生板练,教师予以纠正.这时,教师小结一下:由于抛

21、物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数p,因此只要给出确定p的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它的标准方程就唯一确定了

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