高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用（综合训练4）学案 新人教a版选修2-2

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1、1.3导数在研究函数中的应用（综合训练4）一、学习要求能运用导数证明不等式。二、先学后讲利用导数证明不等式：一般地,证明不等式()成立，通常构造辅助函数，转化为证明不等式成立。（1）根据不等式构造出一个函数；（2）求函数的导数；（3）利用导数研究函数在其定义区间上的单调性、极值、最值；（4）借助函数的单调性，比较函数在其定义区间上的函数值与某点（区间端点、极值点、最值点）处的函数值的大小，从而使不等式得以证明。三、问题探究■合作探究例1．当时，证明不等式.证明：令，，则。∵当时，，函数单调递增，∴，即；当时

2、，，函数单调递减，∴，即，综上所述，当时，不等式成立。■自主探究1．证明下列不等式：（1）,；（2），。证明：（1）令，，则；∵当时，，∴，∴函数在上单调递减，∴，即。（2）令，，则。∵当时，，函数单调递增，∴，即；当时，，函数单调递减，∴，即；当时，，综上所述，当时，不等式成立。四、总结提升本节课你主要学习了。五、问题过关1.证明不等式：，。证明：令，，则。∵当时，，函数单调递增，∴，∴，。2.已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.（Ⅰ）求的值及函数的极值；（Ⅱ）证明：当时，.解：（

3、Ⅰ）∵，∴.依题意，得，∴；∴，，令，解得，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，∴当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值。证明：（Ⅱ）令，，则。由（Ⅰ）得：，∴函数在上是增函数，∴，即。【补充】1.函数是上的单调增函数，则实数取值范围是。解：∵，∴.∵是上的单调增函数，∴当时，恒成立，∴，∴.2.若函数在内单调递减，则实数的取值范围为（）．．．．解：∵，∴，∵函数在内单调递减，∴当时，恒成立，即恒成立；又当时，，∴。故选。3.求证：函数在区间上是单调递增函数。【证明】∵，∴；∵，∴，∴，∴

4、，∴函数在区间上是单调递增函数。4.设，其中为正实数．（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。解：∵，∴；（Ⅰ）当时，，，令，则，解得，或，当变化时，，随的变化情况如下表：递增极大值递减极小值递增∴由表可知，是函数的极小值点；是函数的极大值点。（II）∵为上的单调函数，∴若为上的单调递增函数，则恒成立，即在上恒成立。∵为正实数，即，∴，即，。∴的取值范围是。5.已知函数，该函数图像在点x=1处的切线方程为。若时，y=f(x)有极值。（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x)在[-3,

5、1]上的最大值和最小值。解：由，得，当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0（1）当时，f(x)有极值，则可得4a+3b+4=0（2）由（1）（2）解得a=2,b=-4。由于切点的横坐标为x=1，因此f(1)=4。所以1+a+b+c=4。所以c=5。所以a=2,b=-4,c=5。（2）由（1）可知，所以。令，得,.当x变化时，，，的变化情况如下表：x－3-21+0-0+8增13减增4因此，y=f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值为。