高中数学 4.2.2-4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用习题 新人教a版必修2

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1、4.2.2-4.2.3圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用一、选择题1.已知0<r<+1,则两圆x2+y2=r2与(x-1)2+(y+1)2=2的位置关系是(  )A.外切B.相交C.外离D.内含解析:选B 设圆(x-1)2+(y+1)2=2的圆心为O′,则O′(1,-1).圆x2+y2=r2的圆心O(0,0),两圆的圆心距离dOO′==.显然有

2、r-

3、<<+r.所以两圆相交.2.半径长为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为(  )A.(x-4)2+(y-6)2=6B.(x±4)2+(y-6)2=6C.(x-4)2+(y-6)2=36

4、D.(x±4)2+(y-6)2=36解析:选D ∵半径长为6的圆与x轴相切,设圆心坐标为(a,b),则b=6.再由=5,可以解得a=±4,故所求圆的方程为(x±4)2+(y-6)2=36.3.点P在圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,则

5、PQ

6、的最小值是(  )A.5B.1C.3-5D.3+5解析:选C 圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0,即(x-4)2+(y-2)2=9,圆心为C1(4,2);圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0,即(x+2)2+(y+1)2=4,圆心为C2(-2,-1),两圆相离,

7、

8、PQ

9、的最小值为

10、C1C2

11、-(r1+r2)=3-5.4.一辆卡车宽2.7米,要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道,不得违章),则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过(  )A.1.4米B.3.0米C.3.6米D.4.5米解析:选C 可画出示意图,如图所示,通过勾股定理解得OD==3.6(米),故选C.5.过点P(2,3)向圆C:x2+y2=1上作两条切线PA,PB,则弦AB所在的直线方程为(  )A.2x-3y-1=0B.2x+3y-1=0C.3x+2y-1=0D.3x-2y-1=0解析:选B 弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2+y2=1

12、的交线,而以PC为直径的圆的方程为(x-1)2+2=.根据两圆的公共弦的求法,可得弦AB所在的直线方程为:(x-1)2+2--(x2+y2-1)=0,整理可得2x+3y-1=0,故选B.二、填空题6.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=________.解析:由已知,两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y=,利用圆心(0,0)到直线的距离d===1,解得a=1.答案:17.已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-27=0相交于A,B两点,则线段AB的中垂线方程为________.解析:AB的

13、中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2,又C1(3,0),C2(0,3),C1C2的方程为x+y-3=0,即线段AB的中垂线方程为x+y-3=0.答案:x+y-3=08.已知实数x、y满足x2+y2-4x+1=0,则的最大值为________,最小值为________.解析:由x2+y2-4x+1=0得(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,半径为的圆.设=k,即y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时有=,解得k=±,故的最大值为,最小值为-.答案: -三、解答题9.圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1

14、).(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求内公切线方程;(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点,且

15、AB

16、=2,求圆O2的方程.解:(1)由两圆外切,∴

17、O1O2

18、=r1+r2,r2=

19、O1O2

20、-r1=2(-1),故圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-8.两圆的方程相减,即得两圆内公切线的方程为x+y+1-2=0.(2)设圆O2的方程为:(x-2)2+(y-1)2=r.∵圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,此两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程:4x+4y+r-8=0.①作O1H⊥AB,则

21、AH

22、=

23、AB

24、=,

25、O1H

26、===.

27、又圆心(0,-1)到直线①的距离为=,得r=4或r=20,故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.10.为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,求DE的最短距离.解:以O为坐标原点,过OB,OC的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,则圆O的方程为x2+y2=1.因为点B(8,0

28、),C(0

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