（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.5 复数 理

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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第十三章推理与证明、算法、复数13.5复数理1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部．(i为虚数单位)(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作

2、

3、a＋bi

4、或

5、z

6、，即

7、z

8、＝

9、a＋bi

10、＝(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应法则．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　)(2)复数z＝a＋

11、bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　√　)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　√　)1．(2015·安徽改编)设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝__________.答案　3＋i解析　(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i.2．(2015·课标全国Ⅰ改编)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝__________.答案　2－i解析

12、　由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是_________________．答案　2＋4i解析　∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.4．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝__________.答案　3－4i解析　∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1，∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3

13、－4i.5．(教材改编)已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.答案　2＋i解析　∵＝＝＝＝2－i，∴z＝2＋i.题型一　复数的概念例1　(1)设i是虚数单位．若复数z＝a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为________．(2)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为________．(3)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的____________条件．答案　(1)3　(2)1　(3)充分不必要解析　(1)z＝a

14、－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，且z＝a－为纯虚数知a＝3.(2)由＝＝＝＋i是纯虚数，得a＝1，此时＝i，其虚部为1.(3)由解得m＝－2或m＝1，所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．引申探究1．对本例(1)中的复数z，若

15、z

16、＝，求a的值．解　若

17、z

18、＝，则(a－3)2＋1＝10，∴

19、a－3

20、＝3，∴a＝0或a＝6.2．在本例(2)中，若为实数，则a＝________.答案　－4解析　若为实数，则＝0.∴a＝－4.思维升华　解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化

21、为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．　(1)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．(2)(2014·浙江改编)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的________________条件．答案　(1)－1　(2)充分不必要解析　(1)由复数z为纯虚数，得解得x＝－1.(2)当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(

22、1＋i)2＝2i；当(a＋bi)2＝2i时，得解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．题型二　复数的运算命题点1　复数的乘法运算例2　(1)(2015·湖北改编)i为虚数单位，i607的共轭复数为________．(2)(2015·北京改