2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质学案新人教a版选修1

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1、2.3.2　抛物线的简单几何性质1.掌握抛物线的几何性质及抛物线性质的应用.(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系.(难点)[基础·初探]教材整理　抛物线的简单几何性质阅读教材P60思考～例3以上部分，完成下列问题.1.抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝12.直线与抛物线的位置关系及判定位置关系公共点判定方法相交两个或一个公共点k＝0或联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为Δ相切有且只有一

2、个公共点Δ＝0相离无公共点Δ<0判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形.(　　)(2)抛物线没有渐近线.(　　)(3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.(　　)(4)直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件.(　　)【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×[小组合作型]抛物线的几何性质　(1)抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________.【自主解答】　因为过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍，所以2p＝16.故所求抛物线方程为x2＝±16y.【答案】　x2＝±16y(2)已知抛

3、物线的方程为y＝ax2(a≠0)，求该抛物线的焦点坐标和准线方程.【导学号：97792029】【自主解答】　抛物线方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y(a≠0).当a＞0时，抛物线开口向上，焦点坐标为，准线方程为y＝－.当a＜0时，抛物线开口向下，焦点坐标为，准线方程为y＝－.综上所述，抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为y＝－.把握三个要点确定抛物线简单几何性质1.开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.2.关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴.3.定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2

4、p；离心率恒等于1.[再练一题]1.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.【解】　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0).∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，∴p＝6.∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.直线与抛物线的位置关系　已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k(k∈R).当k为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有

5、公共点？【精彩点拨】　要解决这个问题，只需讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系.【自主解答】　由题意可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，把直线l的方程和抛物线的方程联立得方程组(*)消去x得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0，①(1)当k＝0时，由方程①得y＝1.把y＝1代入y2＝4x中，得x＝.这时，直线l与抛物线只有一个公共点.(2)当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1).①由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝.于是，当k＝－1或k＝时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解.这时，直线

6、l与抛物线只有一个公共点.②当Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－10，解得k<－1或k>.于是，当k<－1或k>时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，这时，直线l与抛物线没有公共点.综上，我们可得：当k＝－1或k＝或k＝0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当－1时，直线l与抛物线没有公共点.1.直线与抛物线的位置关系判断方法通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关

7、于x的方程ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，利用判别式解决.Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒相切；Δ＜0⇒相离.(2)当a＝0时，方程只有一解x＝－，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合.2.直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的.[