导数中恒成立问题(最值问题)

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1、导数中恒成立问题（最值问题）恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边）先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，恒成立，则有恒成立，则有（若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大）1.对于单变量的恒成立问题如：化简后我们分析得到，对，恒成立，那么只需，使得，那么只需2.对于双变量的恒成立问题如：化简后我们分析得到，对，，那么只需如：化简后我们分析得到，对，使，那么只需如：化简后我们分析得到，，使，那么

2、只需还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量）3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（2014.03苏锡常镇一模那题特别典型）今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是与这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是之类），所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化

3、的导数题，我们还会畏惧吗。那么我们先从一道练习题说起一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值）例题.已知定义域为，求的取值范围思考：①引入定义域（非）②参数在二次项，就需考虑是否为③引入高次（次，次，，，等等）④引入，等项（导致不能分离变量）11/11方法：.一次函数，二次函数直接根据图像讨论最值(二次函数也可以分离变量).对于高次或者特殊函数，一般分离变量求最值（分离变量后对函数求导，确定导函数的正负情况，确定单调性，从而确定在已知定义域上的最值）.对于不能分离变量的，只能直接求导，对参数讨论，从而确定

4、单调性，确定最值变式：①已知，若对任意的，均有，求的取值范围②已知，若对任意的，均有，求的取值范围③已知，若对任意的，均有，求的取值范围④已知，若对任意的，均有求的取值范围⑤已知，若对任意的，均有求的取值范围例题2.（改编）已知函数在上的最大值为，最小值为，又已知函数，（1）求的表达式；（2）指出的单调区间，并求出的最小值答案：根据对是否为以及对称轴的讨论，易知，所以易知所以在单调递减，在单调递增，所以当时，有最小值点评：本题考察的主要是二次函数带参数在已知定义域上的最值问题的讨论变式：1.对称轴不动（①定义域不动②

5、定义域动（含参数））2.对称轴动（含参），定义域不动（考试最喜欢考）3.对称轴动（含参），定义域动（含参）但是参数还是同一个参数方法：找出对称轴与定义域边界及定义域中值的临界点讨论即可4.对称轴动（含参），定义域动（含参）①参数不一样，那么或许可以看看题目中参数的范围，是否可以直接根据单调性求②参数不一样，参数也没范围，那么真不能做了11/11（13江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数(x＞0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为__________．解：设则

6、令则对称轴1.时，，（舍去）2.时，，（舍去）综上或点评：本题综合性较高，考查了带参数的二次函数在已知定义域上的最值问题（高一下学期必须学会），同时考查了换元思想，分类讨论的思想是一道非常漂亮的题目二．三次函数及特殊函数型（通常是求导后对二次函数的零点进行讨论，从而求最值）先来几个比较特殊的题目，平时稍微长点心眼，多记记，就记住了1.（原创）已知函数且，对所有满足条件的函数，始终有成立，求的取值范围答案：由题可知时，与题目矛盾，所以显然有所以由条件易知单调递增，由题可知始终成立，即恒成立，因为单调递增，又是满足条件的

7、所有函数，所以的最小值总大于1，所以有，知的范围是或点评：对于某些题中既有又有的这种题型，我们不妨去联想它的原函数11/112.（原创）已知函数；若对于任意，总存在，使得不等式成立，则的取值范围是_____________________答案：分析知单增，又分析知在时取最大值，所以的最大值为，所以有恒成立，分离变量易知3.若对任意，在上恒成立，求范围解答：先看成是的二次函数，对称轴为，所以最大值不是在处就是在处，所以有对恒成立，易知点评：对于一些双变量的函数最值问题，我们难以处理时，往往可以去看看本身的定义域，从而确

8、定原函数的单调性，确定最值4.对满足所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围解答：看成是的一次函数点评：对哪个参数恒成立，就看成是哪个参数的函数5.已知对恒成立，求的取值范围解答：法1:看成乘积小于恒成立，转变成二次函数恒成立法2:必须有一正一负恒成立变式：对恒成立，求的取值范围解答：如果看成是的函数，乘积后就变成关于的三次函数，所以我们可以转变