高考数学一轮总复习 7.4 基本不等式及应用教案 理 新人教a版

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1、7.4　基本不等式及应用典例精析题型一　利用基本不等式比较大小【例1】(1)设x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)A.x＋y≥2(＋1)B.x＋y≤2(＋1)C.x＋y≤2(＋1)2D.x＋y≥(＋1)2(2)已知a，b∈R＋，则，，，的大小顺序是　　　　　　　　　.【解析】(1)选A.由已知得xy＝1＋(x＋y)，又xy≤()2，所以()2≥1＋(x＋y).解得x＋y≥2(＋1)或x＋y≤2(1－).因为x＋y＞0，所以x＋y≥2(＋1).(2)由≥有a＋b≥2，即a＋b≥，所以≥.又＝

2、≤，所以≥，所以≥≥≥.【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.【变式训练1】设a＞b＞c，不等式＋＞恒成立，则λ的取值范围是　　　　.【解析】(－∞，4).因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.而(a－c)(＋)＝[(a－b)＋(b－c)](＋)≥4，所以λ＜4.题型二　利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值为　　　　；(2)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数f′(x)，f′(0)＞0，对任意实数x，有f(x)

3、≥0，则的最小值为(　　)A.3B.C.2D.【解析】(1)因为x＜，所以5－4x＞0.所以y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.所以x＝1时，ymax＝1.(2)选C.因为f(x)≥0，所以所以c≥.又f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＞0，＝＝1＋≥1＋≥1＋＝2，当且仅当c＝且4a2＝b2时等号成立.【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误.【变式训练2】已知x，

4、a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的性质得a＋b＝x＋y，cd＝xy，所以＝＝2＋＋，当＞0时，≥4；当＜0时，≤0，故的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).题型三　应用基本不等式解实际应用问题【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；(2)若

5、提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1).设平均每天所支付的总费用为y1，则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800＝＋9x＋10809≥2＋10809＝10989，当且仅当9x＝，即x＝10时，取等号.即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(

6、2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800×0.9＝＋9x＋9729(x≥35).因为y2′＝9－，当x≥35时，y2′＞0.所以y2＝＋9x＋9729在[35，＋∞)上是增函数.所以x＝35时，y2取最小值.由＜10989知，该厂可以利用此优惠条件.【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，

7、再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.【变式训练3】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.【解析】因为a＞0，b＞0,2a＋b＝1，所以4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab，且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤.所以S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤，当且仅当a＝，b＝时，等号成立.总结提高1.基本不等式的几种常见变形公式：ab≤()2≤(a，b∈R)；≤≤≤(a＞0，b＞0).注意不等式成立的条件及等号成立的条件.2.合理

8、拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等号能够成立.3.多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立.