2019年高考数学总复习 专题7.4 基本不等式及其应用导学案 理

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1、第四节　基本不等式及其应用最新考纲1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1.重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立)．2.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(3)≥(a，b∈R)，当且仅当

2、a＝b时取等号.(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.4.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).5.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)＞A在区间D上恒成立⇔f(x)min＞A；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)＜B在区间D上恒成立⇔f(x)max＜B.(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使

3、不等式f(x)＞A成立⇔f(x)max＞A；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)＜B成立⇔f(x)min＜B.(3)恰成立问题：不等式f(x)＞A恰在区间D上成立⇔f(x)＞A的解集为D；不等式f(x)＜B恰在区间D上成立⇔f(x)＜B的解集为D.典型例题考点一利用基本不等式证明不等式的方法【例1】已知x＞0，y＞0，z＞0，求证：≥8.【证明】∵x＞0，y＞0，z＞0，∴＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0，∴≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．规律方法(1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式．对不满足使用基本不等

4、式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．【变式训练1】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.【证明】∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．考点二　直接法或配凑法求最值【例2】(1)已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　)A．　　B．　　C．　　D．【答案】C【解析】∵0

5、(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，“＝”成立．(2)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝(　)A．1＋　　B．1＋　　C．3　　D．4【答案】C【解析】∵x>2，∴x－2>0，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2·＋2＝2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即(x－2)2＝1时，等号成立，∴x＝1或3.又∵x>2，∴x＝3，即a＝3.(3)已知x＜，求f(x)＝4x－2＋的最大值；(4)设00，所以y＝4x(5－2x)＝2×2x(5－2x)

6、≤22＝，当且仅当2x＝5－2x，即x＝时等号成立，故函数y＝4x(5－2x)的最大值为.规律方法　(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【变式训练2】(1)[2015·湖南高考]若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)A．　B．2C．2D．4【答案】C【解析】由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”

7、，所以ab的最小值为2.(2)若对任意的x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.【答案】.(3)函数y＝(x>1)的最小值为________.【答案】2＋2.【解析】y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立.考点三　常数代换或消元法求最值【例3】（1）已知m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋的最小值为____.【答案】8.【解析】∵2m＋n＝1