高中数学 6.5含绝对值的不等式（备课资料） 大纲人教版必修

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1、●备课资料一、参考例题［例1］已知函数f(x)=,x∈［0,+∞),求证：(1)函数f(x)在［0,+∞］上是增函数；(2).分析:对于(1),结论明确,所以只要紧扣单调函数的定义即可解决.对于(2),题目结论有它自身的特点,与函数f(x)=存在着必然的联系,利用(1)的结论,结合含有绝对值不等式的性质定理即可得证.证明:(1)设x1,x2∈［0,+∞）且x10,1+x2>0,x1-x2<0∴<0即f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)

2、0,+∞)上是增函数.(2)由(1)可知,函数f(x)在［0,+∞)上是增函数且0≤

3、a+b

4、≤

5、a

6、+

7、b

8、,则有f(

9、a+b

10、)≤f(

11、a

12、+

13、b

14、),即.评述:要证明函数f(x)的单调性,依据定义就是在规定了变量的大小顺序的条件下,比较函数值的大小的过程,其中,不等式的证明方法起作用;反过来,证明不等式又可以利用函数的单调性.本题的第(2)就是利用了(1)中已经证明的函数f(x)的单调性进行证明的.由此可见,学习知识应当重视相互联系的观点和方法.另外,对于(2),也可用分析法证明,请同学们自己完成(证明略).［例2］已知a,b,c∈R,函数f(

15、x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,有

16、f(x)

17、≤1.(1)证明:

18、c

19、≤1;(2)证明:当-1≤x≤1时,

20、g(x)

21、≤2;(3)设a>0,-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x)的解析式.分析:本题是函数的概念,函数单调性,绝对值不等式,函数性质的综合应用.灵活地运用所学知识,巧妙地创设运用基本知识的条件,对提高解题效率是很重要的.对于(1)有

22、c

23、=

24、f(0)

25、;对于(2),题中含有字母系数,对a进行分类讨论;对于(3),要灵活运用函数的性质.(1)证明:∵-1≤x≤1时,有

26、f(x)

27、≤1∴当x=0时,有f

28、(0)=c即

29、c

30、=

31、f(0)

32、≤1.故

33、c

34、≤1.(2)证明:欲证当-1≤x≤1时，有

35、g(x)

36、≤2即证:当-1≤x≤1时,有-2≤g(x)≤2.对于a进行分类讨论.当a>0时,g(x)在-1≤x≤1上是增函数,∴a-b≤g(x)≤a+b∵a+b=f(1)-c≤

37、f(1)

38、+

39、c

40、≤2,a-b=f(-1)-c≥-(

41、f(-1)

42、+

43、c

44、)≥-2∴-2≤g(x)≤2,即

45、g(x)

46、≤2;当a<0时,g(x)在-1≤x≤1上是减函数,∴a+b≤g(x)≤a-b∵a+b=f(1)-c≥-(

47、f(1)

48、+

49、c

50、)≥-2,a-b=f(-1)-c≤

51、f(-1

52、)

53、+

54、c

55、≤2,∴-2≤g(x)≤2,即

56、g(x)

57、≤2;当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,∴

58、g(x)

59、=

60、f(1)-c

61、≤

62、f(1)

63、+

64、c

65、≤2;综上所述,有

66、g(x)

67、≤2.(3)解:∵a>0,∴g(x)在-1≤x≤1上是增函数,∴当x=1时,g(x)取得最大值2,即a+b=2,∴f(1)-f(0)=a+b=2,∴-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1即c=f(1)=-1,∵-1≤x≤1时,f(x)≥-1=f(0)∴x=0为函数f(x)图象的对称轴,∴b=0,进而a=2故f(x)=2x2-1.评述:本题是“96全国”高考试题

68、.从中我们可以看出:(1)高考试卷中的压卷题入手一般也较低,往往多步设问,路较宽;(2)本题关键是利用函数单调性,绝对值性质,进行凑形分析,从而达到解题目的.含有绝对值不等式,这类知识经常出现在高考试卷中.因此,应总结解(或证明)绝对值不等式的规律,会准确地去掉绝对值符号,把绝对值不等式等价变形为不含绝对值的不等式,进一步提高综合运用数学知识的能力.二、参考练习题1.选择题(1)若a,b,c∈R,且

69、a-c

70、<

71、b

72、,则正确的是（）A.

73、a

74、>

75、b

76、+

77、c

78、B.

79、a

80、<

81、b

82、-

83、c

84、C.

85、a

86、<

87、b

88、+

89、c

90、D.

91、a

92、>

93、c

94、-

95、b

96、答案:C(2)已

97、知实数a,b满足ab<0,则（）A.

98、a+b

99、>

100、a-b

101、B.

102、a+b

103、<

104、a-b

105、C.

106、a-b

107、<

108、

109、a

110、-

111、b

112、

113、D.

114、a-b

115、<

116、a

117、+

118、b

119、答案:B(3)已知h>0,设命题甲:两个实数a,b满足

120、a-b

121、<2h;命题乙:两个实数a,b满足

122、a-c

123、

124、b-c

125、

126、x-y

127、≤

128、x

129、+

130、y

131、B.

132、x+y

133、≥2(x,y同号)C.

134、

135、≥2(x,y同号)D.

136、x+y

137、≥

138、x-y

139、答案:

140、D(5)设

141、x-a

142、<ε,

143、y-a

144、<ε,则下列不等式中必成立的是（）A.

145、x+y

146、<εB.

147、x-y

148、<εC