高三数学大一轮复习 10.3二项式定理教案 理 新人教a版

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1、§10.3　二项式定理2014高考会这样考　1.利用二项式定理求二项展开式的特定项或系数、二项式系数、系数和等；2.考查二项式定理的应用．复习备考要这样做　1.熟练掌握二项展开式的通项公式；2.注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用；3.理解二项式系数的性质．1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项

2、，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项；Tk＋1＝Can－kbk.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k<时，二项式系数是递增的；当k>时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中

3、间的一项Cn取得最大值．当n是奇数时，中间两项Cn和Cn相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.[难点正本　疑点清源]1．二项式的项数与项(1)二项式的展开式共有n＋1项，Can－kbk是第k＋1项．即k＋1是项数，Can－kbk是项．(2)通项是Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1,2，…，n)．其中含有Tk＋1，a，b，n，k

4、五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．2．二项式系数与展开式项的系数的异同在Tk＋1＝Can－kbk中，C就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；而Tk＋1项的系数是指化简后字母外的数．3．二项式定理的应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．1．(2011·广东)x7的展开式中，x4的系数是______．(用数字作答)答案　84解析　x7的展开式的通项是Tr＋1＝xCx7－r

5、·r＝C(－2)rx8－2r.令8－2r＝4，得r＝2，故x4的系数是C·4＝84.2．(2012·陕西)(a＋x)5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为________．答案　1解析　(a＋x)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ca5－rxr.当r＝2时，由题意知Ca3＝10，∴a3＝1，∴a＝1.3．(2012·安徽)(x2＋2)5的展开式的常数项是(　　)A．－3B．－2C．2D．3答案　D解析　二项式5展开式的通项为：Tr＋1＝C5－r·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r.当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2

6、·Cx－2·(－1)4＝C×(－1)4＝5；当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2.∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.4．若n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为(　　)A．－5B．5C．－405D．405答案　C解析　根据已知，令x＝1，得2n＝32，即n＝5.二项展开式的通项公式是Tr＋1＝C(3x)5－r·r＝(－1)r35－rCx5－2r，令5－2r＝3，r＝1，此时的系数是－34×5＝－405.5．若n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为(　

7、　)A.B.C．－D.答案　B解析　由题意知C＝＝15，所以n＝6，故n＝6，令x＝1得所有项系数之和为6＝.题型一　求二项展开式的指定项或指定项系数例1　已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．思维启迪：先根据第6项为常数项利用通项公式求出n，然后再求指定项．解　(1)通项公式为Tk＋1＝Cxkx－＝Ckx.因为第6项为常数项，所以k＝5时，＝0，即n＝10.(2)令＝2，得k＝2，故含x2的项的系数是C2＝.(3)根据通项公式，由题意，令＝r(r∈Z)，则10

8、－2k＝3r，k＝5－r，∵k∈N，∴r应为偶数．∴r可取2,0，－2，即k可取2,5,8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C2x2，C5，C8x－2.探究提高　求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数