人教版高三数学排列、组合知识精讲

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1、高三数学排列、组合知识精讲一.本周教学内容：排列、组合［基本知识点］1°两个基本原理加法原理：做完一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有：乘法原理：做完一件事，完成它分n个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有：加法原理与乘法原理的共同点与区别：共同点：都是完成一件事（注意对完成的理解）。区别：加：重在“分类”、“类别”之间可以彼此独立存在，如并联关系，每一类方法都可以独立完成这件事，互

2、不影响。乘法原理：重在“步”，步骤之间则彼此依附，缺一不可，如“串联”关系，互相制约。2°排列、组合的概念和性质排列：从n个不同元素里，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素里取出m个元素的一个排列。排列数：从n个不同元素里取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为组合：从n个不同元素里，任取m（m≤n）个元素组成一组，叫做从n个不同元素里取出m个元素的一个组合。组合数：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，不管怎样的顺序并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

3、数。排列与组合的区别：是否有序。3°排列与组合的应用无限制条件的排列组合问题：分清是否有序即可。有序：排列；无序：组合。有限制条件的排列组合问题。排列：（在不在、邻不邻）如组字、排队、选举等。组合（含不含、至少含、至多含）如抽样、分组、分配、几何元素的组合问题等。基本方法：恰当分类（不重不漏）合理分步特殊元素、特殊位置优先（优先法），插空法、捆绑法、隔板法、先组后排（先选后排），总体上有直接、间接两种思路。二.重点、难点：基本原理和排列组合的有关概念性质的理解、辩析和运用。【例题分析】例1.同室四个人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从

4、中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）A.6种B.9种C.11种D.23种解法一：记四人为甲乙丙丁，则甲送出的贺卡有3种分配方式，以乙拿到为例，其他人拿到卡片的情况，可分为两类：一类是甲拿到乙的卡片，这时丙丁互换卡片1种方式，另一类甲拿的不是乙的卡片，而是丙或丁的卡片，对于这种情形中任何一种，丙丁拿到的卡片的方式都只有一种，因此共有3(1＋2)＝9种，选B。解法2：将四人编号为甲乙丙丁，四张贺卡编号为A、B、C、D，甲（A），乙（B），丙（C），丁（D）甲可拿B、C、D三卡中的一卡，则甲有3种拿法，以甲拿B卡为例，进行

5、图排共3种不同分配方法，所以不同的分配方式有3×3＝9种。解法3：将四人编号为1、2、3、4，将四张贺卡编号为1、2、3、4，问题转化为将1、2、3、4四个数填入1、2、3、4四个方格且所填数字与方格编号不同的填法种数：首先在1号填2、3、4中的任意数，有3种填法，其次当第1号方格填数i（2≤i≤4），在第i号方格中填上合要求的数有3种填法，最后，将剩下的两个数填到空格中只有1种填法，由乘法原理有：3×3×1＝9种方法。小结：本题主要考察分类的思想与两个原理的应用，对这类问题若能恰当地转化，会使解题较简洁，也便于理解，如解法2、解法3等。

6、例2.若a、b∈N，且a+b<6，则点（a，b）有多少个？解法1：a＝4时，b＝1，共有点的个数为N＝4＋3＋2＋1＝10个点。解法2：满足a、b∈N，且a+b<6的点P(a，b)必是由x轴、y轴，x+y=6所围成的区域内的整数点共10个，如图所示。小结：本题主要考察分析问题的能力和分类讨论的思想，确定a、b的范围是解题的关键，若结合图形解题会更直观，如解法2。例3.用1、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.24个B.30个C.40个D.60个解法1：先考虑个位是偶数有种，再将剩余的4个数字任取2个排在十

7、位、百位有解法2：5个数字能组成P53个无重复数字的三位数，其中奇数有个，所以偶数有解法3：5个数字无重复数字的三位数有P53个，而个位上出现的数字的机会均等，所以偶数的个数为小结：对这类有条件限制的排列，一般先考特殊元素和特殊位置，再排其他的元素或位置（优限法）解题思路上一般可考虑，直接、间接或其他特殊法。例4.在∠BAC的边AB上取5个点，另一边AC上取4个点，包括A点共有10个点，可以构成多少不同的三角形。解法一：将点分为三类：第一类：AC边上不包括A点的4个点；第二类：AB边上不包括A点的五个点；第三类：A点（1）在第一类中取二点

8、，第二类取一点（2）在第一类中取一个点，第二类取二点有（3）第一类、第二类、第三类各取一点有共构成30＋40＋20＝90个三角形。解法二：共10个点，若都能构成三角形，则构成由于AB上三点不能