人教版高三数学不等式的概念和性质，有理不等式的解法知识精讲

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1、高三数学不等式的概念和性质，有理不等式的解法知识精讲一.本周教学内容：不等式的概念和性质，有理不等式的解法［基本知识］（一）不等式的概念和性质1.不等式的有关概念定义：用不等号＞≥≤＜连结的式子叫做不等式分类：条件不等式、矛盾不等式与绝对不等式2.不等式的性质：1°有关实数的大小理论（即不等式的意义，也是性质的基础）对于任意两个实数a、b（a、b∈R）2°不等式的基本性质3°不等式的运算性质（3）加（与减）（4）乘（与除）注意条件（5）乘方：（6）开方：（取算术根）4°绝对值不等式的性质注意：1°乘（或除）和乘方、开方，这些运算性质，使用时应注意限制条件。2°有关减与除的运算，一般转化为加与

2、乘的运算进行。3.不等式性质的运用不等式的性质的运用非常广泛，其主要应用：（1）根据条件和性质判别不等式是否成立；（2）利用实数大小性质比较两个代数式的大小；（3）利用不等式的性质求范围。（二）有理不等式的解法1.一元一次不等式任何一元一次不等式变形后一定可化为ax>b的形式，其解有以下几种情况：2.一元二次不等式任何一元二次不等式变形后，一定可化为ax2＋bx＋c>0（或<0）其中a>0，其解集随△＝b2－4ac的符号而定，结合函数y＝ax2＋bx＋c的图像，可得解集如下表：（若x1、x2为ax2＋bx＋c＝0的两根且x1≤x2）3.高次不等式（f(x)>0）高次不等式的解法主要方法是区间

3、讨论法与数轴标根法，其步骤：（1）f(x)的最高次数项的系数化为正数（2）然后将f(x)分解为若干个一次因式和非负的二次三项式的乘积，即：（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线。（4）根据曲线呈现出的f(x)的值符号变化规律写出解集。故由图可知原不等式的解集为对有关重根的情况应另作处理（分奇次重根和偶次重根采取不同方法）4.分式不等式其求解的基本思路是通过以上同解变形把分式不等式转化为一元二次不等式或高次不等式进行求解。二.重点、难点：1.不等式的性质是重点，特别是在运算性质中，乘法、除法、乘方、开方时应注意不等式应满足的条件，一般应将相减和相除转化为相加和相乘来

4、做。2.在有理不等式中，一元一次不等式和一元二次不等式是重点，特别是一元二次不等式。难点是分式不等式和高次不等式，应注意运用不等式的基本性质进行合理的同解变形，如：（1）在解一元二次不等式时注意运用一元二次方程和二次函数的图像来进行解题；（2）在解分式不等式时，应注意分母不等于零的条件；（3）同数轴标根法解高次不等式时，一定要注意每个因式要保证x的系数为正和对奇次、偶次重根的处理方式。【典型例题】例1.（89年上海）若a

5、二：故（A）对对（B）故（B）错，（C）、（D）显然对解法三：故（A）对故（B）错小结：这类在一般考试中多以选择题出现，故我们选用解法一或解法三，相对较好。例2.设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，试求f(－2)的范围。解法一：解法二：小结：此题错解：错误原因是忽略了在a+b和a-b中的a、b，其范围是相互制约的，不是独立的，若解出其独立的范围然后再求f(-2)的范围，将会扩大f(-2)的范围，同学们可以将a、b看成x、y作出其图像后，可直观地看出。例3.（1998，全国）设a≠b，解关于x的不等式解：原不等式可化为整理得：∴原不等式等价下列不等式小结：此题看上

6、去较复杂，但我们只要进行合理的化简（等价变换）就会变得较为简单，其实解不等式的过程，其实质就是化简（同解变形）的过程。例4.有一批国产彩电，促销售价为每台2000元，甲、乙两家商场均有销售。甲商场用如下方法促销：购买一台优惠2.5%，购买两台优惠5%，购买三台优惠7.5%，依次类推，即每多购买一台，每台再优惠2.5个百分点，但每台最低不能低于1500元。乙商场一律按原销售价的8折销售，即按原销售价的80%销售。某单位需购买一批此类彩电，问去哪家商场购买花费较少？请说明你的理由。解：设该单位需购买x台彩电，则在甲商场购买的花费为在乙商场购买彩电的花费为综上所述，若购买不超过7台，到乙商场购买花

7、费较少；若购买8台，则到甲、乙商场购买花费一样；若购买超过8台，则到甲商场购买花费较少。说明：商品打折是市场经济中经常出现的现象。这里，是通过建立函数模型，运用解不等式的有关知识加以解决的。【模拟试题】1.不等式与能同时成立的充要条件是（）A.B.C.D.2.若且，四个数中最大的是（）A.B.C.D.3.已知，且，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.4.不等式的解集是___________5.若函数的定