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《高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质成长学案新人教a版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、四弦切角的性质主动成长夯基达标1.如图2-4-8,AB是半圆O的直径,C、D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,∠PCB＝25°,则∠ADC为（ ）图2-4-8A.105°B.115°C.120°D.125°思路解析:连结AC,构造出圆周角∠ADC所对弧的弦切角,即∠PCA,而∠PCA显然等于∠PCB加上一个直角,由此即得结果.答案:B2.如图2-4-9,AB是⊙O的直径,EF切⊙O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,则AC的长为（ ）图2-4-9A.2B.3C.23D.4思路解析:连结BC,构造出弦切角所对的圆周角,由
2、已知有△ADC与△ACB相似,所以可得=,代入数值得关于AC的方程.答案:C3.如图2-4-10,AB是⊙O的弦,CD是经过⊙O上的点M的切线.求证:图2-4-10(1)如果AB∥CD,那么AM=MB;(2)如果AM=BM,那么AB∥CD.思路分析:本题的两个问题互为逆命题,利用弦切角在中间起桥梁作用,如第（1）题,由平行得∠B=∠DMB,由弦切角得∠DMB=∠A,于是有∠A=∠B.证明:(1)CD切⊙O于M点,∴∠DMB=∠A,∠CMA=∠B.∵AB∥CD,∴∠CMA=∠A.∴∠A=∠B.∴AM=MB.(2)∵AM=BM,∴∠A=∠B
3、.∵CD切⊙O于M点,∴∠DMB=∠A,∠CMA=∠B.∴∠CMA=∠A.∴AB∥CD.4.如图2-4-11,四边形ABED内接于⊙O,AB∥DE,AC切⊙O于A,交ED延长线于C.求证:AD∶AE=DC∶BE.图2-4-11思路分析:求证成比例的四条线段正好在两个三角形△ACD和△ABE中,所以只要证明△ACD∽△ABE即可.证明:∵四边形ABED内接于圆,∴∠ADC=∠ABE.∵AC是⊙O的切线,∴∠CAD=∠AED.∵AB∥DE,∴∠BAE=∠AED.∴∠CAD=∠BAE.∴△ACD∽△ABE.∴AD∶AE=DC∶BE.5
4、.如图2-4-12,P为⊙O的直径CB延长线上的一点,A为⊙O上一点,若=,AE交BC于D,且∠C=∠PAD.图2-4-12(1)求证:PA为⊙O的切线;(2)若∠BEA=30°,BD＝1,求AP及PB的长.思路分析:对于（1）,A已经是圆上一点,所以可以连结OA,证明PA与OA垂直;对于（2）,将∠E利用圆周角定理转移到Rt△ODA和Rt△OAP中,解直角三角形即可得到线段AP及PB的长.（1）证明:连结AO,∵=,BC为直径,∴AE⊥BC,AD=DE,=DE.∵OA=OB,∴∠C=∠3.∴∠1=2∠C.又∵∠C=∠PAD,∴∠1=∠2.∵
5、∠1+∠4=90°,∴∠2+∠4=90°.∴PA⊥OA.∴PA为⊙O的切线.（2）解:在Rt△EBD中,∵∠BEA=30°,BD＝1,∴BE=2,DE=.在Rt△ODA和Rt△EBD中,∠4=90°-∠1=90°-2∠C=90°-2∠E=30°=∠E,∠ODA=∠BDE,AD=ED,∴Rt△ODA≌Rt△EBD.∴AD=DE=,OD=BD=1,OA=BE=2.在Rt△OAP中,∵AD⊥OP,∴AD2=OD·DP,即=1·DP.∴DP=3.∴BP=2.在Rt△ADP中,根据勾股定理,得==.6.如图2-4-13,BA是⊙O的直
6、径,AD是⊙O的切线,切点为A,BF、BD交AD于点F、D,交⊙O于E、C,连结CE.求证:BE·BF=BC·BD.图2-4-13思路分析:要证BE·BF=BC·BD,只需证△BEC∽△BDF,∠DBF为公共角,只需再找一组角相等,为此,过B作⊙O的切线,构造弦切角.证明:过B作⊙O的切线BG,则BG∥AD,∴∠GBC=∠BDF.又∵∠GBC=∠BEC,∴∠BEC=∠BDF.而∠CBE为公共角,∴△BEC∽△BDF.∴BE·BF=BC·BD.7.如图2-4-14,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACB的平分线CE交AB于D,交⊙O于E,过E点作
7、⊙O的切线交CB的延长线于F.求证:AE2=AD·EF.图2-4-14思路分析:要证AE2=AD·EF,考虑相似三角形,但AE、AD、EF所在三角形不相似,因此要找线段等量代换.证明:连结BE,△FEB∽△EAD=.又∵∠3=∠2BE=AEBE=AE,则AE2=AD·EF.8.如图2-4-15,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,C是上一点,已知⊙O的半径为r,PO=2r,设∠PAC+∠PBC=α,∠APB=β,则α与β的大小关系为( )A.α>βB.α=βC.α<βD.不能确定思路解析:连结AB、AO,∵PA、PB为切线,∴∠P
8、AC=∠ABC,∠PBC=∠BAC.∴α=∠PAC+∠PBC=∠PAC+∠BAC=∠PAB=
