高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法1学案含解析新人教a版选修2

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1、2.3　数学归纳法(一)[学习目标]1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．[知识链接]1．对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？答　a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想数列的通项公式为an＝.不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答　(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之

2、就是假设第K块倒下，则相邻的第K＋1块也倒下．3．类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？答　(1)当n＝1时，猜想成立；(2)若当n＝k时猜想成立，证明当n＝k＋1时猜想也成立．[预习导引]1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关

3、的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．要点一　正确判断命题从n＝k到n＝k＋1项的变化例1　已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是________．答案　2k解析　观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋＋＋…＋，而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．规律方法　在书写f

4、(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．跟踪演练1　设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________．答案　＋＋解析　∵f(n)＝1＋＋＋…＋，∴f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.要点二　证明与自然数n有关的等式例2　已知n∈N*，证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立；(2)假设当n＝k(k≥1，且

5、k∈N*)时等式成立，即：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.则当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＝右边；所以当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)知对一切n∈N*等式都成立．规律方法　(1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；(2)用数学归纳法证题时，要把n＝k时的命题当作条件，在证n＝k＋1命题成立时须用上假设．要注意当n＝k＋1时，等式两边的式子与n＝k时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．跟踪

6、演练2　用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N*时，·…·＝.证明　(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，∴n＝2时等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，即…＝，那么当n＝k＋1时，…＝·＝＝＝.∴当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式都成立．要点三　证明与数列有关的问题例3　某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明．解　(1)已知a1＝1，由

7、题意得a1·a2＝22，∴a2＝22，∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝.同理可得a4＝，a5＝.因此这个数列的前五项为1,4，，，.(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为：an＝下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝.①当n＝2时，a2＝＝22，所以等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，结论成立，即ak＝，则当n＝k＋1时，∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2，∴a1·a2·…·ak＋1＝(k＋1)2.∴ak＋1＝＝·＝，所以当n＝k＋1时，结论也成立．根据①②可知，当n≥

8、2时，这个数列的通项公式是an＝，∴an＝规律方法　(1)数列{an}既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式an，并用数学归纳法加以证明．(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法．跟踪演练3　数列{