高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算学案新人教b版必修4

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1、2.2.2　向量的正交分解与向量的直角坐标运算基础知识基本能力1．理解平面向量的正交分解及其作用．(重点)2．了解向量的坐标表示与平面直角坐标系中点的坐标的异同．(易错点)3．掌握平面向量的坐标运算法则．(重点、难点)1．结合平面向量正交分解的意义，能够写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量．(重点)2．能熟练地运用向量的加法、向量的减法及实数与向量的积的坐标运算法则进行有关运算．(难点)3．理解平面直角坐标系内任一点的坐标，只与以原点为始点以该点为终点的向量的坐标相同，并且相等向量的坐标相同，但始点和终点坐标却可以不同．(易错点)1．向量的坐标(1)如果两个向量

2、的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．(2)如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．(3)在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2，则对任一向量a，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)．其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量.(4)向量的坐标：设点A的坐标为(x，y)，则＝(x，y)．符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，

3、又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)，或向量(x，y)．名师点拨同一个向量不论怎样平移，其坐标都是唯一的．这一结论告诉我们，当一个向量在原来位置不容易解决问题时，可以通过平移到合适的位置再进行处理，这样可以使得问题得以转化．与坐标轴平行的向量的坐标有何特点？答：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即b＝(0，y)；与y轴平行的向量的横坐标为0.【自主测试1】已知{e1，e2}为正交基底，且e1，e2为单位向量，a在此基底下的坐标为(2011，－2012)，且a＝xe1＋ye2，则x＝__________，y＝__________.答案：2011　－2

4、0122．向量的直角坐标运算(1)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a±b＝(a1±b1，a2±b2)，即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；若λ∈R，则λa＝(λa1，λa2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．归纳总结(1)在同一直角坐标系中，两向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定相同，如A(3,5)，B(6,8)，C(－5,3)，D(

5、－2,6)，则＝(3,3)，＝(3,3)，显然＝，但A，B，C，D各点的坐标却不相同．(2)在平面直角坐标系中，给出了向量的坐标，将向量的运算代数化，同时也给出一种用向量运算解决问题的方法——向量坐标法．【自主测试2－1】已知a＝(1，－1)，b＝(3,0)，则3a－2b等于(　　)A．(5,3)B．(4，－1)C．(－2，－1)D．(－3，－3)答案：D【自主测试2－2】已知向量＝(9，－7)(O为原点)，则点N的坐标为(　　)A．(9，－7)B．(9,7)C．(－9,7)D．(－9，－7)答案：A对平面向量的坐标表示的理解剖析：(1)在平面直角坐标系中，以原点为起点

6、的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)．(2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(3)在同一直角坐标系中，向量确定后，向量的坐标就被确定了，相等的向量，其坐标的表示必然相同．(4)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示．有了向量坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决．题型一求向量的坐标【例题1】已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为线段AC的中点，分别求向量，，

7、，的坐标．分析：→→解：如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos60°，2sin60°)，∴C(1，)，∴D，则＝(2,0)，＝(1，)，＝(1－2，－0)＝(－1，)，＝＝.反思(1)向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．〖互动探究〗本例中，在原条件的基础上，加上“E为线段AB的中点，G为三角形ABC的重心”，求向量，，，的坐标．解：＝(0，－