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《高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.3直线与平面的夹角课堂导学案新人教b版选修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.3直线与平面的夹角课堂导学三点剖析一、最小角定理的应用【例1】已知四棱锥P-ABCD（如右图），底面是边长为2的正方形.侧棱PA⊥底面ABCD，PA=a,M、N分别为AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q.(1)直线PC与平面PBA所成角的正弦值为.求PA的长；(2)PA=2,求PM与平面PCD所成角的正弦值.解：(1)=（2，2，-a），平面PBA的一个法向量为n==(0,1,0).∵直线PC与平面PBA所成角的正弦值为，∴
2、cos〈,n〉
3、=,即∴a=2,即PA=2.(2)=（0，1，-2），=（0，-2，2），（2，0，0）.设平面PCD的法向量为n=(x,y,1),则解得∴
4、n=(0,1,1).∴cos〈,n〉=.∴PM与平面PCD所成角的正弦值为.温馨提示最小角定理的应用注意形式，θ1,θ2所处的位置.二、利用三垂线定理求线面角【例2】如右图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.(1)证明：PA∥平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值.(1)证明：连结AC，AC交BD于O.连结EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点.在△PAC中,EO是中位线,∴PA∥EO.而EO平面EDB且PA平面EDB.所以,PA∥平面EDB.(2)解：作EF⊥DC交DC于F.连结BF.设正方形
5、ABCD的边长为a,∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥DC.∴EF∥PD,F为DC的中点.∴EF⊥底面ABCD,BF为BE在底面ABCD内的射影,故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角.在Rt△BCF中,BF=.∵EF=PD=,∴在Rt△EFB中,tan∠EBF=,则BE与面ABCD所成角的正切值为.温馨提示解题过程一般要包含作图、证明、计算三步.另外借助于法向量求线面角将更加简捷.三、利用向量求线面角【例3】如右图所示的正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1∶AB=2∶1,E、F分别为面A1C1和面BC1的中心.求（1）异面直线CE与AF所成的角；（2）A1F与平面BCC1B
6、1所成的角；解：如右图，以D为原点，DA为Ox轴正方向，DC为Oy轴正方向，DD1为Oz轴正方向建立空间直角坐标系.∵A1A∶AB=2∶1,可设AB=2，由此得到相应各点的坐标分别为A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（1，1，4），F（1，2，2），A1（2，0，4），B1（2，2，4），∴=（1，-1，4），=（-1，2，2），=（-1，2，-2），=（-1，0，-2），=（0，0，-4），=（1，1，-4）.(1)设异面直线CE和AF所成的角为α,则cosα＝∴α=arccos,此即异面直线CE和AF所成的角.(2)∵A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1F与平
7、面BCC1B1，所成的角为∠A1FB1（设为β）.则cosβ===.∴β=arccos.此即为A1F与平面BCC1B1所成的角.温馨提示充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，用相关知识求解线面角.各个击破类题演练1PA、PB、PC从P引出三条射线每两条的夹角都是，则直线PC与面PAB所成角的余弦值为多少？解析：设点C在面PAB上的射影为H，则∠HPA=30°=θ2,∠APC=θ=60°,θ1=∠CPH即为所求的线面角，有cosθ1·cosθ2=cosθ，得cosθ1=.变式提升1面α垂直面β,交线为CD，A∈CD,APα,∠DAP=30°,QAβ,∠DAQ=30°,求∠PA
8、Q的大小.解析：过P作PM⊥CD,则PM⊥β,即∠PAM为直线AP与β所成的角，设∠PAM=θ1,∠MAQ=θ2,∠PAQ=θ,有cosθ=cosθ1cosθ2，即cosθ=cos30°·cos30°=,得θ=∠PAQ=arccos.类题演练2在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,侧棱AA1=AC=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.求AB与平面ABD所成角的大小.解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角，设F为AB中点，连结EF、FC，因为D、E分别是CC1、
9、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，所以CDEF为矩形.连结DF,G是△ADB的重心,EF=1,FD=3,ED=2,EG=,则FC=ED=,BE=,则sin∠EBG==,所求的角为arcsin.变式提升2如右图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、l2上,AM=MB=MN.若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.解:∵Rt△CNA≌Rt△CNB,∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此,△ABC为正三角形.∵Rt△AN
