高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程知识导学案新人教a版必修1

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1、3.1函数与方程知识导学函数的零点不是点，而是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一实数，当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.函数f(x)的零点实际上就是方程f(x)=0的实根，方程f(x)=0有几个实根，函数f(x)就有几个零点；方程f(x)=0有两个相等的实根，则称函数有一个二重零点或者说有一个二阶零点.一般地，函数f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(ai∈R,i=0,1,2,3,…,n)至多有n个零点.解方程是我们在数学学习过程中经常遇到的问题.但平时我们所解

2、的方程都是代数方程，即整式方程、分式方程和无理方程，而对于含有指数和对数的方程，我们也只解一些极为特殊的.对于大部分含有指数和对数的方程是很难用代数方法来解的，例如，对于方程lgx=3-x，我们要求出它的解比较困难，但我们可以用二分法求出它的近似解.用二分法求出的零点一般是零点的近似值.并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间［a,b］上连续不断，且f(a)·f(b)<0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值.用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包含零点)

3、，又要使其长度尽量小；二是随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.记忆口诀：函数连续值两端，相乘为负有零点，区间之内有一数，方程成立很显然.要求方程近似解，先看零点的区间，每次区间分为二，分后两端近零点.疑难导析一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为0时自变量x的值.从函数的图象上看，就是抛物线与x轴交点的横坐标.因此，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.利用函

4、数的知识可以得到方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象之间的关系.二次函数与一元二次方程的这种关系，又给我们提供了另外一种解方程的方法：利用函数的图象解方程或研究方程解的情况.问题导思函数思想与方程思想是密切相关的.对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0.函数问题(如求反函数、求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点.函数思想、方程思

5、想体现了一种解决问题的理念，即建“模”意识.所谓“模”就是一个问题载体，是联系已知、未知的桥梁，建“模”后的第二步就是解析“模”，从而真正将实际问题转化为数学问题，数学也因此成为解析大自然奥秘的工具.典题导考绿色通道如果在计算机上应用某些软件，比如《几何画板》直接绘出函数的图象(这个软件不用进行步长的设置)，也可较快地判断函数的零点的大致区间.如图3-1-3所示.图3-1-3典题变式函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是()A.(1,2)B.(2,3)C.(,1)和(3,4)D.(e,+∞)答案

6、：B绿色通道判断二次函数f(x)的零点的个数，就是判断一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的个数，一般地由判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0完成.对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点，则要结合二次函数的图象进行.典题变式求函数f(x)=2x3-3x+1零点的个数.答案：有3个零点.绿色通道本题表中数据同学们可自己计算验证，这里只给出符号，更清楚地看到区间的取法.典题变式1.借助计算器或计算机，用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x在区间(1，2)内的近似解(精确到0.

7、1).思路解析：用二分法解这个方程可以先构造函数f(x)=ln(2x+6)-3x+2，然后寻找这个函数的零点即可.答案：精确到0.1的近似值为1.3.2.求方程x3-3x＋1＝0的近似解(精确到0.1).答案：近似解分别为x1≈-1.8，x2≈0.4，x3≈1.5.3.已知二次函数f(x)＝ax2＋4x＋b(a＜0)，设关于x的方程f(x)＝0的两根为x1、x2，f(x)＝x的两实根为α、β.(1)若

8、α-β

9、＝1，求a、b的关系式；(2)若a、b均为负整数，且

10、α-β

11、＝1，求f(x)的解析式.答案

12、：(1)a2＋4ab＝9.(2)f(x)=-x2+4x-2.绿色通道本题是一道有关降低税率的应用题，涉及到农产品价格、征税标准、降低税率、预计收购量等多个量.通过审题，建立了税收f(x)(万元)和降低税率x的二次函数关系式，再运用二次函数的有关知识使问题得以解决.在题后又给出设问，目的是要用本节知识来解决问题.典题变式某电器公司生产A种型号的家庭电器.1996年平均每台电脑生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备，加