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《高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式知识巧解学案新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.1两角差的余弦公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角差的余弦公式1.推导方法1(向量法)：把cos(α-β)看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究.如图3-1-2，设α、β的终边分别与单位圆交于点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,sinβ)，由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以我们只需考虑0≤α-β＜π的情况.图3-1-2设向量a==(cosα,sinα)，b==(cosβ,sinβ)，则ab=
2、a
3、·
4、b
5、·cos(α-β)=cos(α-β);另一方面，由向量数量积
6、的坐标表示有a·b=cosαcosβ+sinαsinβ，所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.于是对于任意的α、β都有上述式子成立.图3-1-3推导方法2(三角函数线法)：设α、β、α-β都是锐角，如图3-1-3，角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β；过点P作PM⊥x轴于M，则OM即为α-β的余弦线.在这里，我们想法用α、β的三角函数线来表示OM；过点P作PA⊥OP1于A，过点A作AB⊥x轴于点B，过点P作PC⊥AB于点C，则OA表示cosβ，AP表示s
7、inβ，并且∠PAC=∠P1Ox=α,于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα,即cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.2.公式的结构特征记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.3.两角差的余弦公式Cα-β的应用(1)若所求角能表示成两个特殊角的差的形式，则所求角的三角函数值可用两个特殊角的三角函数值表示出来.(2)已知角α、β的弦函数值，求cos(α-β)的值.由cos(α-β)的展开式可知要求c
8、os(α-β)的值，只需求得α、β的正弦值与余弦值即可.其中sinα、cosα，sinβ、cosβ都是同角的三角函数关系.(3)利用两角差的余弦公式证明三角恒等式.(4)利用两角差的余弦公式化简三角函数式.学法一得公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)=cos30°=.误区警示和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(α±β)
9、≠cosα±cosβ.典题•热题知识点一已知角α、β的三角函数值，求cos(α-β)的值例1已知sinα=，α∈(,π),求cos(-α)的值.思路分析：由于是特殊角，根据cos(-α)的展开式，只需求出cosα的值即可.解：∵sinα=,α∈(,π)，∴cosα=.∴cos(-α)=coscosα+sinsinα=.例2已知sinα=，cosβ=，α、β均为第二象限角，求cos(α-β).思路分析：由cos(α-β)的展开式可知要求cos(α-β)的值，还需求出cosα、sinβ.解：由sinα=，α
10、为第二象限角，∴cosα=.又由cosβ=，β为第二象限角，∴sinβ=.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=.方法归纳若所求角能用已知角表示出来，则所求角的三角函数值可用已知角的三角函数值表示出来，因此合理进行角的变换是解题的关键.例3求函数y=cosx+sinx的周期、最值及取得最值时x的集合.思路分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.解：y=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2(cosxcos+sinxsin)=2cos(x-).所以所求周期为2π.
11、当x-=2kπ,k∈Z，即{x
12、x=+2kπ,k∈Z}时，ymax=2；同理,可知当{x
13、x=-+2kπ,k∈Z}时，ymin=-2.例4已知cosα+cosβ=,sinα+sinβ=，求cos(α-β)的值.思路分析：由于两角和、差的余弦公式与同名的两个三角函数的积有关，根据条件，将其平方后即可构造出同名的三角函数之积的形式.解：将cosα+cosβ=,sinα+sinβ=的两边分别平方并整理，得cos2α+cos2β+2cosαcosβ=,sin2α+sin2β+2sinαsinβ=.把上述两式的两
14、边分别相加，得2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即cos(α-β)=.方法归纳要牢记Cα-β的展开式的特点，着眼于式子结构形式的变换是解好本题的关键.知识点二利用两角差的余弦公式证明三角恒等式例5利用差角余弦公式证明下列等式：(1)cos(π-α)=-cosα；(2)cos(-α)=-sinα.思路分析：直接利用差角余弦公式展开，利用特殊角的三角函数值化简证明.证明：(1)cos(π-α)=cosπcosα+sinπsinα
