高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系导学案新人教a版必修4

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1、1.2.2　同角三角函数的基本关系1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx；掌握这两个基本关系的推导.2.会用以上两个基本关系进行化简、求值和证明.同角三角函数的基本关系(1)关系式：①平方关系：sin2α＋cos2α＝________.②商关系：＝________.(2)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的_______等于1，商等于角α的_______.(1)对同角三角函数的基本关系的理解应注意两个方面：一是“角相同”，如与，4α与4α，5β＋与5β＋都是同一个角，要有一个整体

2、思想；二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立.(2)根据问题的需要，应注意用同角三角函数基本关系式的变形和逆用.比如基本关系式有如下的变形形式：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α；sinα＝tanα·cosα，cosα＝；1±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.【做一做1－1】已知sinα＝，cosα＝，则tanα等于(　　)A.B.C.D.【做一做1－2】sin22011°＋cos22011°＝________.答案：(1)①1　②

3、tanα　(2)平方和　正切【做一做1－1】D【做一做1－2】1三角函数式的化简与证明方法剖析：三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累.三角函

4、数的证明是一种指定答案的恒等变形，与三角函数式的化简相比要简单一些.化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式，常见的化简方法有：异次化同次、高次化低次、切化弦、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等.证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：(1)直接法：从等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；(2)综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到

5、所要证明的等式，其依据是等价转化的思想；(3)中间量法：证明等式左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“若a＝c，b＝c，则a＝b”，它可由等量关系的传递性及对称性推出；(4)分析法：即从结论出发，逐步向已知要条件，其证明过程的书写格式为“要证明……，只需……”，只要所需的条件都已经具备，则结论就成立.题型一已知cosα(或sinα)，求tanα和sinα(cosα)【例1】已知cosα＝－，求sinα，tanα的值.分析：先利用平方关系求出sinα的值，再利用商关系求出tanα的值.在

6、求sinα的值时，先由余弦值为负确定角α的终边在第二或第三象限，然后分象限讨论.反思：已知cosα(或sinα)求tanα时，先利用平方关系求出sinα(或cosα)，再利用商关系求出tanα.注意求sinα(或cosα)时，往往需分类讨论α所在的象限.题型二已知tanα，求sinα和cosα【例2】已知tanα＝3，求sinα和cosα.分析：利用平方关系和商关系，列方程组解得sinα和cosα.反思：已知tanα求sinα和cosα时，通常解方程组得sinα和cosα的值.题型三证明三角恒等式【例3】求证：

7、2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.反思：证明三角恒等式时，若左繁右简，选择从左向右推证；若左简右繁，选择从右向左推证；若两边都很繁琐，则选择两边同时化简，得到同一个式子.题型四已知tanα的值求其他代数式的值【例4】已知tanα＝7，求下列各式的值.(1)；(2)sin2α＋sinαcosα＋3cos2α.分析：对于(1)，可以将分子和分母同时除以cosα，则分子和分母中都只含有tanα，再将tanα＝7代入；对于(2)，可将分母看成是sin2α＋cos2α，将分子和分母同时除以

8、cos2α.反思：1.已知tanα＝m，求关于sinα，cosα的齐次式的值的问题时，需注意以下几点：(1)一定是关于sinα，cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)解决此类问题的策略是先化简再求值(用tanα来表示)；(3)因为cosα≠0，可用cosnα(n∈N*)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tanα的表达式，再将tanα的值代入，从而完成求值任