高中数学第3章导数及其应用章末分层突破学案苏教版选修1

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1、第3章导数及其应用章末分层突破[自我校对]①(Δx→0)②f′(x0)③导数的运算法则④导数的应用⑤函数的最值　　　　　利用导数的几何意义求曲线的切线方程运用导数的几何意义，可以求过曲线上任一点的切线的斜率，从而进一步求出过此点的切线方程.还可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形面积等.导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现.对于较为复杂的此类问题，一般要利用k＝f′(x0)((x0，f(x0))为切点)及切点的坐标满足切线方程

2、和曲线方程列方程组求解.　求过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程.【精彩点拨】　切线过曲线上一点(1，－1)，并不代表(1，－1)就是切点，故需先设出切点，再求解.【规范解答】　设切点为P(x0，y0)，则y0＝x－2x0.∵y′＝3x2－2，则切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－2，∴切线方程为y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0).又∵切线过点(1，－1)，∴－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－.∴切点

3、为(1，－1)或，相应的切线斜率为k＝1或k＝－.故所求切线方程为y－(－1)＝x－1或y－＝－·，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.[再练一题]1.(2016·淮安高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝2处取得极值，并且它的图象与直线y＝－3x＋3在点(1,0)处相切，则函数f(x)的表达式为________.【解析】　f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∵f(x)与直线y＝－3x＋3在点(1,0)处相切，∴即∵f(x)在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝12＋4a＋b＝0.③由

4、①②③解得∴f(x)＝x3－3x2＋2.【答案】　f(x)＝x3－3x2＋2利用导数研究函数的单调性1.求函数的单调区间应先确定函数的定义域，利用f′(x)＞0，f′(x)＜0的解集确定单调区间，这是函数中常见问题，是考查的重点.2.求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面：(1)f′(x)＝0有无根，(2)f′(x)＝0根的大小，(3)f′(x)＝0的根是否在定义域内.另外当f′(x)＝0的最高次项系数含有字母时，则要讨论系数是否为0.3.已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：①转化

5、为不等式在某区间上恒成立问题，即f′(x)≥0(或≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数的性质求解，注意验证使f′(x)＝0的参数是否符合题意，②构造关于参数的不等式求解，即令f′(x)＞0(或＜0)求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数的范围.　已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围.【精彩点拨】　(1)求出f′(x)，讨论f′(x)＝0的根是否存在，求函数的单调区间；(2)根据题意有f′(x)≥

6、0在(－∞，＋∞)上恒成立，分离参数后可求实数a的取值范围.【规范解答】　(1)f′(x)＝3x2－a.①当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数.②当a＞0时，令3x2－a＝0得x＝±；当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；当－＜x＜时，f′(x)＜0.因此f(x)在，上为增函数，在上为减函数.综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；当a＞0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数.(2)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，

7、＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即a的取值范围为(－∞，0].[再练一题]2.(2016·湘潭高二检测)设函数f(x)＝x2＋ex－xex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围.【解析】　(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex).若x＜0，则1－e

8、x＞0，所以f′(x)＜0；若x＞0，则1－ex＜0，所以f′(x)＜0；若x＝0，则f′(x)＝0.∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞).(2)由(1)知f(x)在[－2,2]上单调递减，∴f(x)min＝f(2)＝2－e2.∴当m<2－e2时，不等式f(x)＞m恒成立.即实数m的取值范围是(－∞，2－e2).利用导数研究函数的极值和最值1.利用导数研究函数极值的一般流程2.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在