高中数学第2讲直线与圆的位置关系章末分层突破学案新人教a版选修4

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1、第2讲直线与圆的位置关系章末分层突破[自我校对]①圆心角定理②圆内接四边形性质定理③圆的切线④弦切角定理⑤相交弦定理⑥切线长定理　　与圆有关的角的计算与证明圆中的角有四类：圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角，与圆有关的角的计算与证明通常涉及这四类角，因此圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理是解决此类问题的知识基础，通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系转化，借助于圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决．　(2015·湖南高考)如图21，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO

2、与直线CD相交于点F，证明：图21(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.【精彩点拨】　(1)在四边形OMEN中，由OM⊥AB，ON⊥CD证明∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)四边形OMEN的对角互补，O，M，E，N四点共圆，利用割线定理证明．【规范解答】　(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点

3、共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.[再练一题]1．如图22所示，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，求∠BAD.【导学号：07370049】图22【解】　法一：∵EB，EC是⊙O的切线，∴EC＝EB.又∠E＝46°，∴∠ECB＝＝67°.∵∠DCF＝32°，∴∠BCD＝180°－67°－32°＝81°.∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠BAD＝180°－81°＝99°.法二：连接AC，如图所示，∵EB，EC是⊙O的切线，∴EB＝EC.又∠E＝46°，∴∠E

4、CB＝＝67°.∵EF切⊙O于点C，∴∠BAC＝∠ECB＝67°，∠CAD＝∠DCF＝32°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝67°＋32°＝99°.圆内接四边形的判定与性质圆内接四边形是中学数学的主要研究问题之一，近几年各地的高考选做题中涉及圆内接四边形的判定和性质较多．　如图23，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E.图23(1)求证：BC∥DE；(2)若AB＝3，BD＝2，求CE的长．(3)在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件？(不要求证明

5、)【规范解答】　(1)证明：连接CD.因为DE是⊙O的切线，所以∠CDE＝∠CBD.因为∠CBD＝∠DAC，所以∠CDE＝∠DAC.因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC.所以∠CDE＝∠BAD.因为∠BAD＝∠BCD，所以∠CDE＝∠BCD.所以BC∥DE.(2)因为AD平分∠BAC，＝，∠BCD＝∠CBD.所以BD＝CD＝2.因为BC∥DE，所以∠E＝∠ACB＝∠ADB.又由(1)中已证得∠CDE＝∠BAD，所以△ABD∽△DCE.所以＝.所以CE＝＝.(3)∠BAC＝2∠ACB.[再练一题]2．如图24，在正三角形AB

6、C中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD，BE相交于点P.图24求证：(1)四点P，D，C，E共圆；(2)AP⊥CP.【证明】　(1)在△ABC中，由BD＝BC，CE＝CA知，△ABD≌△BCE，即∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝180°，所以四点P，D，C，E共圆．(2)如图，连接DE.在△CDE中，CD＝2CE，∠ACD＝60°，由余弦定理知∠CED＝90°.由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC＝∠DEC，所以AP⊥CP.与圆有关的比例线段圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形，结合相

7、似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积式，在解题过程中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论．　如图25，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．图25(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【规范解答】　(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A.由题设知＝，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为

8、B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°.因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由DB＝BE，有CE＝DC.又BC2