高中数学第1讲坐标系1平面直角坐标系学案新人教a版选修4

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1、一　平面直角坐标系1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用．2．了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．(重点、难点)3．能够建立适当的直角坐标系解决数学问题．[基础·初探]教材整理1　平面直角坐标系阅读教材P2～P4“探究”及以上部分，完成下列问题．1．平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．2．坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．3

2、．坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．点P(－1,2)关于点A(1，－2)的对称点坐标为(　　)A．(3,6)B．(3，－6)C．(2，－4)D．(－2,4)【解析】　设对称点的坐标为(x，y)，则x－1＝2，且y＋2＝－4，∴x＝3，且y＝－6.【答案】　B教材整理2　平面直角坐标系中的伸缩变换阅读教材P4～P8“习题”以上部分，完成下列问题．设点P(x，y)是平面直角坐标

3、系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是(　　)A．椭圆B．比原来大的圆C．比原来小的圆D．双曲线【解析】　由伸缩变换的意义可得．【答案】　D2．y＝cosx经过伸缩变换后，曲线方程变为(　　)A．y′＝3cosB．y′＝3cos2x′C．y′＝cosD．y′＝cos2x′【解析】　由，得，又∵y＝cosx，∴y′＝cos，即y′＝3cos.【答案】　A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“

4、小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]运用坐标法解决平面几何问题　已知▱ABCD，求证：

5、AC

6、2＋

7、BD

8、2＝2(

9、AB

10、2＋

11、AD

12、2).【导学号：91060000】【思路探究】　从要证的结论，联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐标系，设出A，B，C，D点的坐标，通过计算，证明几何结论．【自主解答】　法一　(坐标法)以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，则AC的中点E，由对称性知D(b－a

13、，c)，所以

14、AB

15、2＝a2，

16、AD

17、2＝(b－a)2＋c2，

18、AC

19、2＝b2＋c2，

20、BD

21、2＝(b－2a)2＋c2，

22、AC

23、2＋

24、BD

25、2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，

26、AB

27、2＋

28、AD

29、2＝2a2＋b2＋c2－2ab，∴

30、AC

31、2＋

32、BD

33、2＝2(

34、AB

35、2＋

36、AD

37、2)．法二　(向量法)在▱ABCD中，＝＋，两边平方得2＝

38、

39、2＝2＋2＋2·，同理得2＝

40、

41、2＝2＋2＋2·，以上两式相加，得

42、

43、2＋

44、

45、2＝2(

46、

47、2＋

48、

49、2)＋2·(＋)＝2(

50、

51、2＋

52、

53、2)，即

54、AC

55、2＋

56、BD

57、2＝2

58、(

59、AB

60、2＋

61、AD

62、2)．1．本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法，即用解析法实现几何结论的证明．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．2．建立平面直角坐标系的方法步骤：(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明；(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；(3)运算——通过运算，得到所需要的结果．[再练一题]1．已

63、知△ABC中，点D在BC边上，且满足

64、BD

65、＝

66、CD

67、.求证：

68、AB

69、2＋

70、AC

71、2＝2(

72、AD

73、2＋

74、BD

75、2)．【证明】　法一　以A(O)为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，则D，所以

76、AD

77、2＋

78、BD

79、2＝＋＋＋＝(a2＋b2＋c2)，

80、AB

81、2＋

82、AC

83、2＝a2＋b2＋c2＝2(

84、AD

85、2＋

86、BD

87、2)．法二　延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得

88、AE

89、2＋

90、BC

91、2＝2

92、(

93、AB

94、2＋

95、AC

96、2)，即(2

97、AD

98、)2＋(2

99、BD

100、)2＝2(

101、AB

102、2＋

103、AC

104、2)，所以

105、AB

106、2＋

107、AC

108、2＝2(

109、AD

110、2＋

111、BD

112、2)．用坐标法解决实际问题　由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组