高中数学第1讲坐标系2极坐标系学案新人教a版选修4

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1、二 极坐标系1.理解极坐标系的概念.2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.(难点)3.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式,能进行极坐标和直角坐标的互化.(重点、易错点)[基础·初探]教材整理1 极坐标系阅读教材P8~P10,完成下列问题.1.极坐标系的概念(1)极坐标系的建立:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离

2、OM

3、叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox

4、为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.2.点与极坐标的关系一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是惟一确定的.在极坐标系中,ρ1=ρ2,且θ1=θ2是两点M(ρ1,θ1)和N(ρ2,θ2)重合的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

5、件【解析】 前者显然能推出后者,但后者不一定推出前者,因为θ1与θ2可相差2π的整数倍.【答案】 A教材整理2 极坐标和直角坐标的互化阅读教材P11,完成下列问题.1.互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图121所示.图1212.互化公式:设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(x,y)极坐标(ρ,θ)互化公式ρ2=x2+y2,tanθ=(x≠0)将点M的极坐标化为直角坐标是(  )A.(5,5) B.(5,5)C.(5,5)D.(-5,-5)【解析

6、】 x=ρcosθ=10cos=5,y=ρsinθ=10sin=5.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: [小组合作型]将点的极坐标化为直角坐标 写出下列各点的直角坐标,并判断所表示的点在第几象限.(1);(2);(3);(4)(2,-2).【思路探究】 点的极坐标(ρ,θ)―→―→点的直角坐标(x,y)―→判定点所在象限.【自主解答】 (1)由题意知x=2cos=2×=-1,y=2sin=2×=-,∴点的直角坐标为,是第三象限内的点.(2)x=2cosπ=-1,y=2sinπ=,∴点的直

7、角坐标为(-1,),是第二象限内的点.(3)x=2cos=1,y=2sin=-,∴点的直角坐标为(1,-),是第四象限内的点.(4)x=2cos(-2)=2cos2,y=2sin(-2)=-2sin2,∴点(2,-2)的直角坐标为(2cos2,-2sin2),是第三象限内的点.1.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件:(1)极点与直角坐标系的原点重合;(2)极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;(3)两种坐标系的长度单位相同.2.将点的极坐标(ρ,θ)化为点的直角坐标(x,y)时,运用到求角θ的正弦值和余弦值,熟练掌握特殊角的三角函数值,灵活运用三角恒等变换公式是关键.[再练一题

8、]1.分别把下列点的极坐标化为直角坐标:(1);(2);(3)(π,π).【解】 (1)∵x=ρcosθ=2cos=,y=ρsinθ=2sin=1,∴点的极坐标化为直角坐标为(,1).(2)∵x=ρcosθ=3cos=0,y=ρsinθ=3sin=3,∴点的极坐标化为直角坐标为(0,3).(3)∵x=ρcosθ=πcosπ=-π,y=ρsinθ=πsinπ=0,∴点的极坐标(π,π)化为直角坐标为(-π,0).将点的直角坐标化为极坐标 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π):(1)(-2,2);(2)(,-);(3).【思路探究】 利用公式ρ2=x2+y2,tan

9、θ=(x≠0),但求角θ时,要注意点所在的象限.【自主解答】 (1)∵ρ===4,tanθ==-,θ∈[0,2π),由于点(-2,2)在第二象限,∴θ=,∴点的直角坐标(-2,2)化为极坐标为.(2)∵ρ===2,tanθ==-,θ∈[0,2π),由于点(,-)在第四象限,∴θ=,∴点的直角坐标(,-)化为极坐标为.(3)∵ρ===,tanθ==1,θ∈[0,2π),由于点在第一象限,∴θ=,∴点的直角坐标化为极坐标为.1.将直角坐标(x,y)

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