高中数学第1章导数及其应用1.5.1_1.5.2定积分学案苏教版选修2

《高中数学第1章导数及其应用1.5.1_1.5.2定积分学案苏教版选修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.5.1　曲边梯形的面积1.5.2　定积分1．了解定积分的概念及“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，求定积分．2．理解定积分的几何意义，会求曲边梯形的面积．[基础·初探]教材整理1　曲边梯形的面积阅读教材P41～P45“例2”以上部分，完成下列问题．1．曲边梯形的面积将已知区间[a，b]等分成n个小区间，当分点非常多(n很大)时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长．于是，可用f(xi)Δx来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xn)

2、Δx表示了曲边梯形面积的近似值．图1512．求曲边梯形的面积的步骤求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为：分割→以直代曲→作和→逼近由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是________．【解析】　将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：，，，，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S＝3×＋3×＋3×＋13×＝.【答案】　教材整理2　定积分阅读教材P47“例1”以上部分，完成下列问题．一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，将区间[a，b]等分

3、成n个小区间，每个小区间长度为Δx，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，…，xi，…，xn.作和Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx.如果当Δx→0(亦即n→＋∞)时，Sn→S(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分．记为S＝_f(x)dx.其中，f(x)称为被积函数，[a，b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限．(x＋1)dx的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形的面积有什么关系？【解析】　由定积分的概念知：二者相等．教材整理3　定积分的几何意义阅读教材P48“例2”以

4、上部分，完成下列问题．一般地，定积分的几何意义是在区间[a，b]上曲线与x轴所围图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积．)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f(x)dx＝f(t)dt.(　　)(2)f(x)dx的值一定是一个正数．(　　)(3)(x2＋2x)dx＝x2dx＋2xdx.(　　)【答案】　(1)√　(2)×　(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_____________________

5、__________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型]利用定积分的定义求曲边梯形的面积　求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．【

6、精彩点拨】　按分割、以值代曲、作和、逼近四个步骤进行求解．【自主解答】　(1)分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[0,1]等分成n个小区间：，，…，，…，，简写作(i＝1,2，…，n)．每个小区间的长度为Δx＝－＝.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.(2)以直代曲用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－为其一边长，以小区间长度Δx＝为另一边长的小矩形对应的

7、面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－·(i＝1,2，…，n)．(3)作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即S＝Si≈－(ξi)Δx＝·＝－[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝－·n(n－1)(2n－1)＋·＝－＝－.(4)逼近当分割无限变细，即Δx→0时，n→∞，此时－→.从而有S＝.所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积为.由极限法求曲边梯形的面积的步骤(1)分割．