高中数学《函数模型及其应用》学案8 苏教版必修1

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1、函数模型及其应用1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：实际问题函数模型实际问题的解函数模型的解抽象概括还原说明运用函数性质（4）利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重

2、要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法.利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：用函数模型解决实际问题在于求函数模型选择函数模型画散点图检验收集数据符合实际不符合实际首先建立直角坐标系，画出散点图；根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：二次函数模型：幂函数模型：指数函数模型：（＞0，）2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型

3、的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用题型一：正比例、反比例和一次函数型[例1]：某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷

4、沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？ 观测时间1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）0.20000.40000.60010.79991.0001 [解题思路]通过理解题意，找出题中属于那一种函数模型。[解析]（1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y=kx+b的图象将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，求得k=0.2，b=0，所以y=0.2x（x∈N）。因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年底沙漠面积大约为

5、95+0.5×15=98（万公顷）。（2）设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得95+0.2x－0.6(x－5)=90，解得x=20（年）。故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。[规律总结]初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好[练习1]大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12以上温度一定，保持在-55oC.（1）当地球表面大气的温度是

6、oC时，在的上空为oC,求、、间的函数关系式；（2）问当地表的温度是29oC时，3上空的温度是多少？[解题思路]　用待定系数法确定温度随高度变化的函数关系.[解析]（1）由题设知，可设-=，即=+.依题意，当=12时，=-55，∴-55=+12，解得=-，∴当时，.又当时，.∴所求的函数关系式为（2）当=29,=3时，=29-(55+29)=8，即3上空的温度为8oC.答：所求的关系式为，在3上空的温度是8oC.题型二：二次函数型[例2]：某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日

7、增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？[解题思路]审清题意，找出满足题意的函数类型。[解析]设客房日租金每间提高2元，则每天客房出租数为300－10，由＞0，且300－10＞0得：0＜＜30设客房租金总上收入元，则有：=（20+2）(300－10)=－20(－10)2＋8000（0＜＜30）由二次函数性质可知当=10时，=8000.所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.[规律总结]引导学生探索过程如下：1）本例涉及到哪些数

8、量关系？2）应如何选取变量，其取值范围又如何？3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？4）“总收入最高”的数学含义如何理解？题型三：分段函数型[例3]我国水资源相