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《高中数学5.5利用不等式求最大小值5.5.2利用柯西不等式求最大小值知识导航学案苏教版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.5.2利用柯西不等式求最大(小)值自主整理1.柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当_____________时取“=”.2.柯西不等式一般形式:≥()2,当且仅当_____________时取“=”.高手笔记1.在n个实数a1,a2,…,an的和为定值S时,它们的平方和不小于,即≥()2=,当且仅当a1=a2=…=an时平方和取最小值.2.利用柯西不等式求最值时,注意“=”成立的条件,并会构造定值,学会拼凑.名师解惑如何用柯西不等式求函数的最值?剖析:利用柯西不等式求函数的最值时,往往不
2、能直接应用,而是需要对数学式子的形式进行改变,拼凑出与柯西不等式相似的结构才能应用.因而适当变形是我们应用柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在数学式子中,数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母顺序,以便能使其形式一致起来,然后应用.讲练互动【例1】已知
3、x
4、≤1,
5、y
6、≤1,求的最大值.分析:本题中的数学式子为,而(1-y2)与y2和为1,(1-x2)与x2和为1,可用柯西不等式求得.解:()2≤［x2+(1-x2)］［y2+(1-y2)］=1,∴最大值为1.绿色通道通过观察式子结构与柯西不等式相对照构造定值,弄清
7、谁是a,b,c,d.若用x2与y2合并就不易求出.变式训练1.设a、b、c>0且acos2θ+bsin2θ=c,求cos2θ+sin2θ的最大值.解:(cos2θ+sin2θ)2=［cosθ·cosθ+bsinθ·sinθ］2≤［(cosθ)2+(sinθ)2］(cos2θ+sin2θ)=acos2θ+bsin2θ=c,∴cos2θ+sin2θ≤,最大值为.【例2】求y=的最大值.分析:本题中出现的都是根式,可由柯西不等式转为平方把根号去掉,但要注意构造定值.解:∵()2=()2≤［12+()2］［()2+()2］=3(4
8、x+3+2-4x)=15,∴ymax=.绿色通道利用柯西不等式求函数的最值时要注意构造定值,特别是系数如何确定,需要仔细体会.变式训练2.求函数f(x)=的最大值.解:∵()2≤(12+12)(x-6+12-x)=12,∴f(x)的最大值为.【例3】已知a、b∈R+,a+b=2,求的最小值.分析:观察不等式的结构,求函数的最小值,需出现(a2+b2)(c2+d2),而且还必须使ac+bd为定值,可以把看作“a2+b2”,那么“c2+d2”就可以为(2-a)+(2-b).解:∵a、b∈R+,a+b=2,∴2-a>0,2-b>
9、0且2-a+2-b=2.∵［］［(2-a)+(2-b)］≥()2=(a+b)2=4,∴≥2.∴的最小值为2.绿色通道注意柯西不等式的方向问题,若求的最小值,这时需要看作一个因子,再找另一个因子,使构造为定值.变式训练3.设x+y=1,x≥0,y≥0,求x2+y2的最小值.解:∵(x2+y2)(12+12)≥(x+y)2=1,∴x2+y2≥.∴x2+y2的最小值为.【例4】已知2x+3y+4z=10,求x2+y2+z2的最小值.分析:本题构造(x2+y2+z2)·(22+32+42),用柯西不等式解答.解:∵(2x+3y+4
10、z)2≤(x2+y2+z2)(22+32+42)且2x+3y+4z=10,∴x2+y2+z2≥.∴x2+y2+z2的最小值为.变式训练4.已知a、b、c、d∈R+,且a+b+c+d=7,求的最大值.解:∵()2≤［(2a+1)+(2b+3)+(2c+5)+(2d+7)］(12+12+12+12)=［2(a+b+c+d)+16］×4=120,∴()2≤120.又∵a、b、c、d∈R+,∴的最大值为.
