高中数学 第一章1.6.1 垂直关系的判定目标导学 北师大版必修2

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1、6.1　垂直关系的判定学习目标s重点难点1．通过实例，掌握直线和直线垂直、直线和平面垂直、平面和平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并会利用定理证明垂直关系．3．正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”的概念，会求简单的二面角的平面角．重点：直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义、判定定理及推论．难点：直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理在证明题中的应用．疑点：二面角的平面角的作法.1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)直线和平面垂直的判定定理①文字叙述：如

2、果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．②符号表示：若aα，bα，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.③图形表示：④作用：线线垂直线面垂直．预习交流1能够证明直线l与平面α垂直的条件是(　　)．①l与α内两条平行直线垂直；②l与α内两条相交直线垂直；③l与α内无数条直线垂直；④l与α内任意两条直线垂直；⑤l∥m，m⊥α；⑥直线m，n确定平面α，l⊥m，l⊥n.A．①②④B．①③⑥C．②④⑤D．③④⑥提示：C2．二面角及其平面角(1)半平面的定义：一个平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．(2)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组

3、成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(3)二面角的记法：以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面角αABβ.(4)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．(5)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角．预习交流2以下命题正确的个数是(　　)．①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱必垂直于这个二面角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的直线所成的角等于二面角的大小．A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3提示：B3．平面与平面垂直

4、的判定(1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面和平面垂直的判定定理①文字叙述：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．②符号表示：α⊥β.③图形表示：④作用：线面垂直面面垂直．预习交流3如何理解平面和平面垂直的判定定理？提示：(1)本质：证面面垂直证线面垂直．(2)关键：寻找其中一个平面的垂线．(3)找平面垂线的方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若不存在则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据，并有助于证明，不能随意添加．1．线面垂直的判定如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S

5、是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.思路分析：题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，AB⊥BC，D是AC的中点，要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证(2)，需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，而(1)的结论可利用．证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以B

6、D⊥AC.由(1)知SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.1．已知四棱锥PABCD的底面是菱形，且∠ABC＝60°，PA＝PC＝2，PB＝PD.若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD.证明：∵PA＝PC，PD＝PB，且O是AC和BD的中点，∴PO⊥AC，PO⊥BD.又AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.2．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上异于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC.(1)图中共有多少个直角三角形？(2)若AH⊥PC，且AH与PC交于H，求证：AH⊥平面PBC.(1)解：由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，又由题设知BC⊥AC.由

7、BC⊥AC，BC⊥PA，PA∩AC＝A得BC⊥平面PAC，∵PC平面PAC，∴BC⊥PC.故图中有4个直角三角形：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB.(2)证明：由(1)知BC⊥平面PAC，AH平面PAC，∴BC⊥AH.又AH⊥PC，BC∩PC＝C，∴AH⊥平面PBC.1.利用直线和平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面