高中数学 第一章 1.1.2余弦定理(二)导学案新人教a版必修5

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1、1．1.2　余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)＝＝＝2R.(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝.(4)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c.2．余弦定理及其推论(1)a2＝b2＋c2－2bccos_A.(2)cosA＝.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2

2、、c所对的角分别为A、B、C，则有：(1)A＋B＋C＝π，＝－.(2)sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C.(3)sin＝cos，cos＝sin.一、选择题1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为(　　)A．60°B．90°C．120°D．150°答案　C解析　∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，即＝－，∴cosC＝－，∴∠C＝120°.2．在△ABC中，若2cosB

3、sinA＝sinC，则△ABC的形状一定是(　　)A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形答案　C解析　∵2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，∴A＝B.3.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为(　　)A．30°B．60°C．90°D．120°答案　B解析　∵a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，则cos

4、C＝＝－.∴C＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形答案　D解析　∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则(　　)A．a>bB．a

5、得，c2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度确定答案　A解析　设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所对的最大角变为锐角．二、填

6、空题7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________.答案　解析　由题意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝.8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．答案　20，∴a>，最大边为2a＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2，化简得：0

7、>2a＋1，∴a>2，∴2

8、_．答案　解析　S△ABC＝bcsinA＝c＝，∴c＝4，由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA＝12＋42－2×1×4cos60°＝13，∴a＝.∴2R＝＝＝，∴R＝.∴S外接圆＝πR2＝.三、解答题11．在△ABC中，求证：＝.证明　右边＝＝·cosB－·cosA＝·－·＝－＝＝左边．所以＝.12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cosB=，且·＝－21.(1)求△ABC的面积；(2)若a＝7，