高中数学 第一章 1.1.2余弦定理(一)导学案新人教a版必修5

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1、1．1.2余弦定理(一)课时目标1．熟记余弦定理及其推论；2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的222222222积的两倍．即a＝b＋c－2bccos_A，b＝c＋a－2cacos_B，c＝a＋b－2abcos_C.2．余弦定理的推论222222222b＋c－ac＋a－ba＋b－ccosA＝；cosB＝；cosC＝.2bc2ca2ab3．在△ABC中：222(1)若a＋b－c＝0，则C＝90°；222(2)若c＝a＋b－ab，则C＝60°；222(3)若c＝a＋b＋2ab，则C＝13

2、5°.一、选择题1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于()A.3B．3C.5D．5答案A2．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()ππA.B.36ππC.D.412答案B解析∵a>b>c，∴C为最小角，222a＋b－c由余弦定理cosC＝2ab2227＋43－133π＝＝.∴C＝.2×7×43263．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于()A．1B.2C．2D．4答案C2222222a＋b－cc＋a－b2a解析bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a＝2.2ab2ac2a24．在△ABC中，已知b＝a

3、c且c＝2a，则cosB等于()1322A.B.C.D.4443答案B222解析∵b＝ac，c＝2a，∴b＝2a，b＝2a，222222a＋c－ba＋4a－2a3∴cosB＝＝＝.2ac2a·2a42Ac－b5．在△ABC中，sin＝(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状22c为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形答案B2A1－cosAc－b解析∵sin＝＝，222c222bb＋c－a222∴cosA＝＝⇒a＋b＝c，符合勾股定理．c2bc故△ABC为直角三角形．12226．在△ABC中，已知面积S＝(a＋b－c)，则角

4、C的度数为()4A．135°B．45°C．60°D．120°答案B12221解析∵S＝(a＋b－c)＝absinC，42222222∴a＋b－c＝2absinC，∴c＝a＋b－2absinC.222由余弦定理得：c＝a＋b－2abcosC，∴sinC＝cosC，∴C＝45°.二、填空题2227．在△ABC中，若a－b－c＝bc，则A＝________.答案120°8．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.答案30°222解析c＝a＋b－2abcosC22＝2＋4－2×2×4×cos60°＝12∴c＝23.ac1由正弦定理：＝得sinA＝

5、.sinAsinC2∵a0，b>0)，则最大角为________．答案120°2222解析易知：a＋ab＋b>a，a＋ab＋b>b，设最大角为θ，22222a＋b－a＋ab＋b1则cosθ＝＝－，2ab2∴θ＝120°.π10．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于3时，tanC＝________.3答案－231222解析S△ABC＝acsinB＝3，∴c＝4.由余弦定理得，b＝a＋c－2accosB＝13，2222a＋b－c112∴cosC＝＝－，sinC＝，2ab1313

6、∴tanC＝－12＝－23.三、解答题11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．222222AB＋AC－BC9＋8－72解由条件知：cosA＝＝＝，设中线长为x，由余弦定理知：2·AB·AC2×9×83AC222AC222x＝2＋AB－2··ABcosA＝4＋9－2×4×9×＝4923⇒x＝7.所以，所求中线长为7.212．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．解(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]1＝－co

7、s(A＋B)＝－，2又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.2(2)∵a，b是方程x－23x＋2＝0的两根，a＋b＝23，∴ab＝2.2222∴AB＝b＋a－2abcos120°＝(a＋b)－ab＝10，∴AB＝10.13(3)S△ABC＝absinC＝.22能力提升13．(2010·潍坊一模)在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．答案3222BC＋AC－AB2解析∵cosC＝＝，2×BC×AC22∴sinC＝.2∴AD＝AC·sinC＝3.14．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试