高中数学 函数的应用 教学研究

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1、专题讲座高中数学“函数的应用”教学研究李梁北京市西城区教育研修学院一、关于函数应用的深层理解（一）对函数图象的深入理解在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗.因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法.作函数图象最基本的方法是列表描点作图法.引例：区别下面三个集合：函数的图象：（二）谈谈数形结合思想“数缺形时少直观，形缺数时难入微”——华罗庚1．何时要用数形结合？引例1不等式的解集是______________

2、__.引例2求方程的解的个数.2．运用数形结合需要注意什么？引例3方程在内的解有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个引申：当时，有.（三）函数的应用在数学知识体系中的地位及作用数学的“学科价值”、“应用价值”、“文化价值”《课标》数学探究、数学建模、数学文化.数学应用是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和

3、实践能力。函数的应用（1）结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。（2）根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。（3）利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。（4）收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。（四）函数的应用教学重点和难点教学重点：1．函数的图象

4、及其应用2．函数的值域及其应用3．函数的零点与二分法4．函数的实际应用问题教学难点：1．应用函数图象解决简单问题2．确定函数的值域常规方法3．函数的零点存在性的判定4．运用函数知识解决实际问题二、函数的应用教学建议（一）如何有效运用函数的图象帮助我们分析解决问题l怎样做函数的图象基本方法：列表描点作图法.常用的函数图象变换有：1．平移变换：将的图象向左（）或向右（）平移个单位可得.：将的图象向上（）或向下（）平移个单位可得.2．对称变换：作关于轴的对称图形可得.：作关于轴的对称图形可得.3．翻折变换：将的图象在轴下方

5、的部分沿轴翻折到轴的上方，其他部分不变即得.：此偶函数的图象关于轴对称，且当时图象与的图象重合.例1：做出下列函数的图象：（1）；（2）.答：（1）将的图象左移1个单位，得到函数的图象；（2）将的图象左移1个单位，得到函数的图象，再将的图象向下平移一个单位得到函数的图象.例2：作函数的图象.分析：方法一（描点法）分析函数的性质，得定义域：；值域：，并且当时，；当时，，所以.与坐标轴的交点：；对称性：偶函数，关于轴对称；单调性：当时，是减函数；用同样的方法可得为函数的减区间；为函数的增区间.结合上面的分析，经过简单的描

6、点作图可得如右图所示的函数图象.方法一（函数图象变换法）先作函数的图象，再作的图象，再作的图象.如下图：作函数图象之前，先对函数的性质作些研究是必要的，它可以简化作图过程.比如在明确本题函数为偶函数之后，就只需做出的图象了.函数图象是函数规律的直接表现，函数性质对函数规律进行了理论上的刻画，两者之间是具体与抽象的两方面，它们相互支撑，是学习、研究函数的两个入手点.对于方法二，有些学生用这种方法易出现的错误是：先作函数的图象，再作的图象，再作的图象.在这个过程中，由变到时，误以为应遵循变化到的规律.事实上，若，则，变换

7、得不到要得的函数图象.例3：函数的部分图象是（　　）（A）（B）（C）（D）分析：对于函数，，，所以为奇函数，否定（A）（C）选项.又，当时，，所以在原点右侧附近时值为负，否定（B）选项.于是选（D）.例4：已知，，且，那么下列结论中不可能成立的是（）A.B.C.D.以下为备用试题：例5：若,则函数的图象一定不过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析：将图象向下平移个单位（），依图象可知函数的图象一定不过第四象限．选D.例6：已知,且,则的大小关系为.分析:先画的图象；然后将图象下移一个单位得到的图

8、象；最后将轴下方的图象对称翻折到轴上方，原轴上方的图象不变，就得到了的图象.函数的图象如图所示.所以在是减函数,所以,所以.例7：已知函数是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，那么不等式解集是.分析：根据偶函数图象关于轴对称，补全函数在上的图象.解不等式，就是“找到”使得的所有的，就是在函数的图象上找到使得纵坐标小于或等于零的所有自变量.根