2018届高考数学一轮复习 配餐作业48 利用空间向量求空间角(含解析)理

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1、配餐作业(四十八) 利用空间向量求空间角(时间:40分钟)1.(2016·东北三省三校联考)如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=AE=2。(1)求证:BD⊥平面ACFE;(2)当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时,求CF的长度。解析 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC。∵AE⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥AE。又∵AC∩AE=A,∴BD⊥平面ACFE。(2)如图,以O为原点,,为x,y轴正方向,z轴过O且平行于CF,建立空间直角坐标

2、系O—xyz,则B(0,,0),D(0,-,0),E(1,0,2),F(-1,0,a)(a>0),=(-1,0,a)。设平面EDB的法向量为n=(x,y,z),则有即令z=1,n=(-2,0,1),由题意sin45°=

3、cos〈,n〉

4、===,解得a=3或-。由a>0,得a=3。所以CF=3。答案 (1)见解析 (2)32.(2016·全国卷Ⅱ)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H。将△DEF沿EF折到△D′EF的位置,OD′=。(1)证明:D

5、′H⊥平面ABCD;(2)求二面角B-D′A-C的正弦值。解析 (1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD。又由AE=CF得=,故AC∥EF。因此EF⊥HD,从而EF⊥D′H。由AB=5,AC=6,得DO=BO==4。由EF∥AC得==。所以OH=1,D′H=DH=3。于是D′H2+OH2=32+12=10=D′O2,故D′H⊥OH。又D′H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D′H⊥平面ABCD。(2)如图,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz,则H(0,0,0),A

6、(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D′(0,0,3),=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3)。设m=(x1,y1,z1)是平面ABD′的法向量,则即所以可取m=(4,3,-5)。设n=(x2,y2,z2)是平面ACD′的法向量,则即所以可取n=(0,-3,1)。于是cos〈m,n〉===-,sin〈m,n〉=。因此二面角B-D′A-C的正弦值是。答案 (1)见解析 (2)3.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点F在棱B1B上,且满足B1F=2BF。

7、(1)求证:EF⊥A1C1;(2)在棱C1C上确定一点G,使A,E,G,F四点共面,并求此时C1G的长;(3)求平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值。解析 (1)证明:因为A1C1⊥B1D1,A1C1⊥DD1,B1D1∩DD1=D1,所以A1C1⊥平面BB1D1D。因为EF⊂平面BB1D1D,所以EF⊥A1C1。(2)如图,在平面BCC1B1内,过点F作FG∥AE交棱C1C于点G,此时A,E,G,F四点共面,且C1G=a-a=a。(3)解法一:延长DB,EF相交于H,连接AH,则AH为平面AEF与平面ABCD的交线,过点B作

8、BI⊥AH(垂足为I),连接FI,则∠FIB为所求平面AEF与平面ABCD所成二面角的平面角。因为BF=a,DE=a,DB=a,则BH=2a,AH=a,由S△ABH=BI×AH=AB×BHsin45°=a2,解得BI=a。所以tan∠FIB==,cos∠FIB=。解法二:建立如图所示空间直角坐标系,则A(a,0,0),F,E,=,=。设平面AEF的一个法向量为n1=(x,y,z),则·n1=0,·n1=0,即取z=6,则n1=(3,-2,6);又平面ABCD的法向量n2=(0,0,1),设平面AEF与平面ABCD所成二面角为θ,则

9、cosθ==。答案 (1)见解析 (2)过点F作FG∥AE交棱C1C于点G,C1G=a (3)4.(2016·浙江高考)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3。(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值。解析 (1)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示。因为平面BCFE⊥平面ABC,平面BCFE∩平面ABC=BC,且AC⊥BC,所以,AC⊥平面BCK,因此,BF⊥AC。又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=

10、2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK,又AC∩CK=C,所以BF⊥平面ACFD。(2)如图,延长AD,BE,CF相交于一点K,则△BCK为等边三角形。取BC的中点O,连接KO,则KO⊥BC,又平面BCFE⊥平面ABC,所以K

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