2019版高考数学一轮复习高考必考题突破讲座（一）导数及其应用学案

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1、高考必考题突破讲座(一)导数及其应用,考纲要求考情分析命题趋势　　函数与导数的压轴试题，在每年的高考中属于必考内容，其命题方向主要有两个：一是围绕函数的性质考查函数的单调性、极值、最值、曲线的切线等问题展开，二是围绕函数、方程与不等式关系，探索方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立等问题展开.2017·全国卷Ⅰ，212017·全国卷Ⅱ，212017·全国卷Ⅲ，212017·山东卷，20　　主要是以解答题的命题方式，考查导数在探求一些不等式、函数、方程等有关综合问题的应用，难度较大.分值：14分1．利用导数研究方程的根(或函数的零点)函数的零点、方程的根、曲线

2、的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围；(3)讨论零点个数的答题模板：第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数．2.利用导数研究恒成立、能成立问题求参数的范围,导数在不等式中的应用是高考的热点，常见的命题角度是由不等式恒成立和不等式能成立求参数的范围问题．其转化途径：(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a；存在x使f(x)≥a成立⇔f(x)max≥a.

3、(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b，存在x使f(x)≤b成立⇔f(x)min≤b.(3)f(x)>g(x)恒成立F(x)min>0.(4)①任意x1∈M，任意x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max；②任意x1∈M，存在x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min；③存在x1∈M，存在x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min；④存在x1∈M，任意x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.⑤如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值烦琐时，可采

4、用直接构造函数的方法进行分类讨论求解．3.利用导数证明不等式,利用导数证明不等式，常以解答题的形式出题，突出转化思想、函数思想的考查，常见的命题角度有利用导数证明不等式和能成立(恒成立)问题．(1)直接将不等式转化成某个函数最值问题：若证明f(x)

5、化为一个函数的最值问题，可借助两个函数的最值证明，如果证f(x)≥g(x)在D上成立，只需证明f(x)min≥g(x)max即可．(3)利用导数证明一个不等式，并进行代换、变形，推导一些其他的不等式．【例1】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d为奇函数，且x＝－1处取得极大值2.,(1)求f(x)的解析式；,(2)过点A(1，t)(t≠－2)可作函数f(x)图象的三条切线，求实数t的取值范围．解析　(1)因为f(x)为奇函数，故b＝d＝0，f′(x)＝3ax2＋c.,又f′(－1)＝0，f(－1)＝2，故－a－c＝2,3a＋c＝0解得a＝1，c＝－3，故

6、f(x)＝x3－3x.,(2)设切点为(x0，y0)，则消去y0，得2x－3x＋3＋t＝0.设g(x)＝2x3－3x2＋t＋3，因为过A的切线有三条，所以g(x)有三个零点，又g′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，所以g(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上递增在(0,1)上递减，所以g(x)的极小值为g(1)＝t＋2，极大值为g(0)＝t＋3.所以(t＋2)(t＋3)<0，得t的取值范围是(－3，－2)．【例2】已知函数f(x)＝＋klnx，k≠0.(1)当k＝2时，求函数f(x)切线斜率中的最大值；(2)若关于x的方程f(x)＝k有解，求实数k的取值范围

7、．解析　(1)函数f(x)＝＋klnx的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－＋(x>0)．当k＝2时，f′(x)＝－＋＝－2＋1≤1，所以函数f(x)切线斜率的最大值为1．(2)因为关于x的方程f(x)＝k有解，令g(x)＝f(x)－k＝＋klnx－k，则问题等价于函数g(x)存在零点，所以g′(x)＝－＋＝.当k<0时，g′(x)<0对x>0成立，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．而g(1)＝1－k>0，g＝－1<－1<0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上存在零点．当k>0时，令g′(x)＝0，得x＝.g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表.xg′(x

8、)－0＋g(x)单调递减极小值单调递增